Resolva o PVI
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de valor inicial (PVI) onde precisamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. A matéria envolvida é equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, e vamos usar o método de separação de variáveis para resolver. Preparados? Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação multiplicando ambos os lados por
para ficar mais fácil de trabalhar:
Passo 3
Agora, a ideia é separar as variáveis
e
, ou seja, deixar tudo que envolve
de um lado e tudo que envolve
do outro. Para isso, vamos reorganizar a equação:
Passo 4
Vamos simplificar a fração do lado esquerdo para facilitar a integração depois:
Passo 5
Com as variáveis separadas, agora vamos integrar ambos os lados:
Passo 6
Vamos calcular as integrais separadamente. Começando pelo lado esquerdo:
No lado direito, precisamos usar um método chamado integração por partes para resolver
.
Passo 7
Aplicando a integração por partes no lado direito:
Escolhemos
e
. Então, derivando e integrando respectivamente temos
e
. A fórmula de integração por partes é:
Aplicando:
Passo 8
Igualando as integrais dos dois lados, temos:
Passo 9
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
e
na equação:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A solução do PVI é dada implicitamente por:
Exercícios relacionados
Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(i)
R.:
(i)
R.:
Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
©
R.:
©
R.:
Resolva o PVI:
Verifique se a equação dada é exata e resolva - a: