Resolva o PVI 1/t y' = (y sen(t)) / (y^2 + 1), y(pi) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de valor inicial (PVI) onde precisamos resolver a equação diferencial com a condição inicial . A matéria envolvida é equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, e vamos usar o método de separação de variáveis para resolver. Preparados? Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação multiplicando ambos os lados por t para ficar mais fácil de trabalhar:

Passo 3

Agora, a ideia é separar as variáveis y e t, ou seja, deixar tudo que envolve y de um lado e tudo que envolve t do outro. Para isso, vamos reorganizar a equação:

Passo 4

Vamos simplificar a fração do lado esquerdo para facilitar a integração depois:

Passo 5

Com as variáveis separadas, agora vamos integrar ambos os lados:

Passo 6

Vamos calcular as integrais separadamente. Começando pelo lado esquerdo:
No lado direito, precisamos usar um método chamado integração por partes para resolver .

Passo 7

Aplicando a integração por partes no lado direito:
Escolhemos e . Então, derivando e integrando respectivamente temos e . A fórmula de integração por partes é:
Aplicando:

Passo 8

Igualando as integrais dos dois lados, temos:

Passo 9

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar a constante C. Substituindo e na equação:
Sabemos que e , então:

Resposta

A solução do PVI é dada implicitamente por:

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