Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(d)
R.:
(d)
R.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de Transformada de Laplace! A gente precisa encontrar a transformada da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de transformadas e algumas propriedades das funções hiperbólicas. Vamos precisar lembrar como funciona a Transformada de Laplace e as regras para funções que envolvem exponenciais e polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função hiperbólica cosseno,
, pode ser escrita em termos de exponenciais:
Então, nossa função
fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace na função
. A Transformada de Laplace é uma ferramenta que transforma uma função do tempo
para uma função no domínio da frequência
, facilitando a resolução de equações diferenciais, por exemplo.
A Transformada de Laplace é linear, ou seja:
Aplicando isso na nossa fun�o:
Passo 4
Vamos agora lembrar da Transformada de Laplace para
:
Aplicando isso às duas partes da nossa função:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da Transformada de
:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, vamos somar as frações:
Calculando o numerador:
Então:
Passo 7
Voltando à Transformada de
:
Resposta
A Transformada de Laplace da função
é:
Exercícios relacionados
Use transformada de Laplace para resolver os sistemas:
© , com
e
.
R.: e
©
R.:
Um tanque de grande capacidade, contém 1 galão de água pura. Uma salmoura, contendo 1 libra de sal por galão, entra no tanque à razão de 3 galões por minuto. A mistura, suposta uniforme, escoa do tanque à razão de 2 galões por minuto.
Determine o volume de solução no tanque, no fim de
minutos.
Determine o volume
Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(f)
R.:
(f)
R.:
Ache todas as soluciés da edo: