Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(d)
R.:

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de Transformada de Laplace! A gente precisa encontrar a transformada da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de transformadas e algumas propriedades das funções hiperbólicas. Vamos precisar lembrar como funciona a Transformada de Laplace e as regras para funções que envolvem exponenciais e polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função hiperbólica cosseno, , pode ser escrita em termos de exponenciais:
Então, nossa função fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace na função . A Transformada de Laplace é uma ferramenta que transforma uma função do tempo para uma função no domínio da frequência , facilitando a resolução de equações diferenciais, por exemplo.
A Transformada de Laplace é linear, ou seja:
Aplicando isso na nossa fun�o:

Passo 4

Vamos agora lembrar da Transformada de Laplace para :
Aplicando isso às duas partes da nossa função:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da Transformada de :

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, vamos somar as frações:
Calculando o numerador:
Então:

Passo 7

Voltando à Transformada de :

Resposta

A Transformada de Laplace da função é:

Exercícios relacionados

Use transformada de Laplace para resolver os sistemas:
© , com e .
R.: e
Um tanque de grande capacidade, contém 1 galão de água pura. Uma salmoura, contendo 1 libra de sal por galão, entra no tanque à razão de 3 galões por minuto. A mistura, suposta uniforme, escoa do tanque à razão de 2 galões por minuto.
Determine o volume de solução no tanque, no fim de minutos.
Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(f)
R.:
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