Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(d) f(t) = t cosh(a t)
R.: F(s) = (s^2 + a^2) / ((s - a)^2 (s + a)^2), |s| > a

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de Transformada de Laplace! A gente precisa encontrar a transformada da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de transformadas e algumas propriedades das funções hiperbólicas. Vamos precisar lembrar como funciona a Transformada de Laplace e as regras para funções que envolvem exponenciais e polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função hiperbólica cosseno, , pode ser escrita em termos de exponenciais:
Então, nossa função fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace na função . A Transformada de Laplace é uma ferramenta que transforma uma função do tempo para uma função no domínio da frequência , facilitando a resolução de equações diferenciais, por exemplo.
A Transformada de Laplace é linear, ou seja:
Aplicando isso na nossa fun�o:

Passo 4

Vamos agora lembrar da Transformada de Laplace para :
Aplicando isso às duas partes da nossa função:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da Transformada de :

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, vamos somar as frações:
Calculando o numerador:
Então:

Passo 7

Voltando à Transformada de :

Resposta

A Transformada de Laplace da função é:

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