Um tanque de grande capacidade, contém 1 galão de água pura. Uma salmoura, contendo 1 libra de sal por galão, entra no tanque à razão de 3 galões por minuto. A mistura, suposta uniforme, escoa do tanque à razão de 2 galões por minuto.
Determine o volume
de solução no tanque, no fim de
minutos.
Determine o volume
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um tanque com uma capacidade grande que começa com 1 galão de água pura. Uma solução salina, que tem 1 libra de sal por galão, está entrando no tanque a uma taxa de 3 galões por minuto. Ao mesmo tempo, a mistura está saindo do tanque a uma taxa de 2 galões por minuto. Queremos descobrir qual será o volume da solução no tanque depois de
minutos. Vamos usar conceitos de taxa de variação e equações diferenciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as taxas de entrada e saída do volume no tanque. A taxa de entrada é de 3 galões por minuto e a taxa de saída é de 2 galões por minuto. Para encontrar como o volume
muda ao longo do tempo, podemos montar uma equação diferencial que representa essa taxa de variação.
Passo 3
A taxa de variação do volume no tanque é a diferença entre a taxa de entrada e a taxa de saída. Então, temos:
Isso significa que o volume no tanque está aumentando a uma taxa constante de 1 galão por minuto.
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação diferencial simples. A equação que temos é:
Para encontrar
, integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para encontrar o valor de
, usamos a condição inicial que o volume no tanque no início (
) é 1 galão:
Então,
.
Passo 6
Substituindo
de volta na equação, temos:
Isso nos dá o volume da solução no tanque em função do tempo.
Resposta
O volume da solução no tanque após
minutos é dado por:
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(a)
R:: e
(a)
R::
Resolva opri
Use transformada de Laplace para resolver os sistemas:
© , com
e
.
R.: e
©
R.:
Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(d)
R.:
(d)
R.: