Um tanque de grande capacidade, contém 1 galão de água pura. Uma salmoura, contendo 1 libra de sal por galão, entra no tanque à razão de 3 galões por minuto. A mistura, suposta uniforme, escoa do tanque à razão de 2 galões por minuto.
Determine o volume de solução no tanque, no fim de minutos.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um tanque com uma capacidade grande que começa com 1 galão de água pura. Uma solução salina, que tem 1 libra de sal por galão, está entrando no tanque a uma taxa de 3 galões por minuto. Ao mesmo tempo, a mistura está saindo do tanque a uma taxa de 2 galões por minuto. Queremos descobrir qual será o volume da solução no tanque depois de minutos. Vamos usar conceitos de taxa de variação e equações diferenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as taxas de entrada e saída do volume no tanque. A taxa de entrada é de 3 galões por minuto e a taxa de saída é de 2 galões por minuto. Para encontrar como o volume muda ao longo do tempo, podemos montar uma equação diferencial que representa essa taxa de variação.

Passo 3

A taxa de variação do volume no tanque é a diferença entre a taxa de entrada e a taxa de saída. Então, temos:
íã
Isso significa que o volume no tanque está aumentando a uma taxa constante de 1 galão por minuto.

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação diferencial simples. A equação que temos é:
Para encontrar , integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Para encontrar o valor de , usamos a condição inicial que o volume no tanque no início ( ) é 1 galão:
Então, .

Passo 6

Substituindo de volta na equação, temos:
Isso nos dá o volume da solução no tanque em função do tempo.

Resposta

O volume da solução no tanque após minutos é dado por:
õ

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(a)
R:: e
Resolva opri
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© , com e .
R.: e
Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(d)
R.: