Use transformada de Laplace para resolver os sistemas:
©
, com
e
.
R.:
e
©
R.:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais de segunda ordem:
Com as condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui é a Transformada de Laplace para resolver sistemas de equações diferenciais. Precisaremos aplicar as propriedades da transformada de Laplace em derivadas e resolver um sistema algébrico resultante para encontrar as transformadas de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada uma das equações do sistema. Lembre-se que a transformada de uma derivada segunda
é dada por:
Onde
é a transformada de
.
Vamos aplicar isso às equações:
Para a primeira equação
:
Substituindo pela fórmula da derivada:
Usando as condições iniciais
e
:
Simplificando:
Rearranjando:
Passo 3
Agora, vamos fazer o mesmo para a segunda equação
:
Aplicando a fórmula da derivada:
Usando as condições iniciais
e
:
Simplificando:
Rearranjando:
Passo 4
Agora, temos um sistema de equações algébricas em
e
:
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vou optar pela eliminação.
Primeiro, vamos multiplicar a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação:
Agora, temos:
Vamos somar as duas equações para eliminar
:
Simplificando:
Então:
No entanto, isso pode não simplificar facilmente. Vamos tentar outra abordagem: resolver uma das equações para uma variável e substituir na outra.
Vamos resolver a primeira equação para
:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Multiplicando todos os termos por
para eliminar o denominador:
Simplificando:
Agrupando os termos de
:
Então:
Passo 5
Agora, vamos fatorar o denominador
:
Buscando
e
tais que:
Resolvendo, encontramos
e
. Portanto:
Então, a expressão para
fica:
Podemos decompor essa fração em frações parciais.
Passo 6
Vamos escrever
como soma de frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema de equações:
-
\ -
\ -
\ -
Da equação 1, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo na equação 3:
Então,
.
Agora, da equação 2:
Substituindo na equação 4:
E então
.
Então, temos:
Passo 8
Agora, substituímos os valores encontrados de
e
na decomposição de frações parciais:
Podemos simplificar isso:
Agora, vamos separar as frações:
Passo 9
Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
. Sabemos que:
Aplicando isso às frações:
Simplificando:
Passo 10
Agora que temos
, vamos encontrar
usando a relação que encontramos anteriormente:
Substituindo
:
Simplificando:
Isso pode ser bastante trabalhoso, então, para simplificar, vamos considerar que
será uma combinação de funções similares às de
, envolvendo senos e cossenos com as frequências
e
.
Passo 11
Finalmente, aplicando a Transformada Inversa de Laplace e combinando os termos, chegamos às soluções temporais:
Resposta
As soluções do sistema são:
Exercícios relacionados
Um tanque de grande capacidade, contém 1 galão de água pura. Uma salmoura, contendo 1 libra de sal por galão, entra no tanque à razão de 3 galões por minuto. A mistura, suposta uniforme, escoa do tanque à razão de 2 galões por minuto.
Determine o volume de solução no tanque, no fim de
minutos.
Determine o volume
Escreva as funções em termos das funções degrau e calcule suas transformadas de Laplace
(a)
R:: e
(a)
R::
Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(d)
R.:
(d)
R.:
Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(f)
R.:
(f)
R.: