Determine a transformada de Laplace das seguintes funções, definidas para
(Escolher dois para entregar).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar a transformada de Laplace de uma função que muda de comportamento em diferentes intervalos de tempo. A função dada é definida para
e tem duas partes:
Para resolver, vamos usar a definição da transformada de Laplace e a função de Heaviside, que nos ajuda a lidar com funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é definida como:
Mas como nossa função
tem duas partes, vamos expressá-la usando a função de Heaviside
. A função de Heaviside é igual a 0 para
e 1 para
.
Passo 3
Vamos reescrever
usando a função de Heaviside:
Isso significa que para
, a segunda parte da função se ativa.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace para cada parte separadamente. Sabemos que:
E também que a transformada de
vezes uma função
é:
onde
é a transformada de
.
Passo 5
Aplicando isso à nossa função:
Vamos calcular cada parte.
Passo 6
Primeiro, a transformada de
:
Passo 7
Agora, a transformada de
:
E a transformada de
:
Então, a transformada de
é:
Passo 8
Agora, aplicamos o deslocamento com a função de Heaviside para a segunda parte:
Passo 9
Juntando todas as partes, a transformada de Laplace de
é:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é: