Determine a transformada de Laplace das seguintes funções, definidas para t ≥ 0 (Escolher dois para entregar).
y(t) = { e^(-2 t), 0 < t <= 3; 1, t > 3 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar a transformada de Laplace de uma função que muda de comportamento em diferentes intervalos de tempo. A função dada é definida para e tem duas partes:
Para resolver, vamos usar a definição da transformada de Laplace e a função de Heaviside, que nos ajuda a lidar com funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é definida como:
Mas como nossa função tem duas partes, vamos expressá-la usando a função de Heaviside . A função de Heaviside é igual a 0 para e 1 para .

Passo 3

Vamos reescrever usando a função de Heaviside:
Isso significa que para , a segunda parte da função se ativa.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace para cada parte separadamente. Sabemos que:
E também que a transformada de vezes uma função é:
onde é a transformada de .

Passo 5

Aplicando isso à nossa função:
Vamos calcular cada parte.

Passo 6

Primeiro, a transformada de :

Passo 7

Agora, a transformada de :
E a transformada de :
Então, a transformada de é:

Passo 8

Agora, aplicamos o deslocamento com a função de Heaviside para a segunda parte:

Passo 9

Juntando todas as partes, a transformada de Laplace de é:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

Exercícios relacionados