Passo 1
Vamos resolver o limite:
Matéria envolvida: Cálculo de limites usando funções trigonométricas.
O que vamos precisar: Conhecimentos básicos sobre funções trigonométricas (tangente e cosecante), propriedades de limites e algumas aproximações de funções trigonométricas próximas de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as funções trigonométricas em termos de seno e cosseno para facilitar a manipulação:
Substituindo na expressão original:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses:
Então, a expressão completa fica:
Passo 4
Vamos separar os termos no numerador:
Passo 5
Agora, analisamos o comportamento de cada termo quando
se aproxima de 0:
-
Quando
, , então . -
Quando
, , portanto, .
Passo 6
Portanto, a expressão
se comporta assim:
-
Para
(aproximando-se de 0 pela direita), , então . -
Para
(aproximando-se de 0 pela esquerda), , então .
Resposta
O limite não existe, pois as aproximações pelo lado positivo e negativo resultam em valores infinitos de sinais opostos.