lim x 0(tg(x)+1) csc (x)

Passo 1

Vamos resolver o limite:
limx 0 (tg(x) + 1) csc(x)
Matéria envolvida: Cálculo de limites usando funções trigonométricas.
O que vamos precisar: Conhecimentos básicos sobre funções trigonométricas (tangente e cosecante), propriedades de limites e algumas aproximações de funções trigonométricas próximas de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as funções trigonométricas em termos de seno e cosseno para facilitar a manipulação:
tan(x) = sin(x)cos(x)
csc(x) = 1sin(x)
Substituindo na expressão original:
(tan(x) + 1) csc(x) = (sin(x)cos(x) + 1) cdot 1sin(x)

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses:
sin(x)cos(x) + 1 = sin(x) + cos(x)cos(x)
Então, a expressão completa fica:
sin(x) + cos(x)cos(x) cdot 1sin(x) = sin(x) + cos(x)sin(x) cos(x)

Passo 4

Vamos separar os termos no numerador:
sin(x) + cos(x)sin(x) cos(x) = sin(x)sin(x) cos(x) + cos(x)sin(x) cos(x) = 1cos(x) + 1sin(x) = sec(x) + csc(x)

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento de cada termo quando se aproxima de 0:
  • Quando , , então .
  • Quando , , portanto, .

Passo 6

Portanto, a expressão se comporta assim:
  • Para (aproximando-se de 0 pela direita), , então .
  • Para (aproximando-se de 0 pela esquerda), , então .

Resposta

O limite não existe, pois as aproximações pelo lado positivo e negativo resultam em valores infinitos de sinais opostos.

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