Usando a definição de derivada, determine o coeficiente angular, da reta tangente à curva no ponto em cada caso.
e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o coeficiente angular, que é basicamente a inclinação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos usar a definição de derivada, que faz parte da matéria de Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. Usando a definição, a derivada de no ponto é:
No nosso caso, queremos encontrar , já que o ponto de interesse é .

Passo 3

Vamos substituir por 1 na fórmula:
Agora, precisamos calcular e .

Passo 4

A função dada é . Vamos calcular :
Então, , que corresponde à coordenada y do ponto .

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Primeiro, expandimos :
Substituindo de volta:
Distribuindo os termos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, voltamos à fórmula da derivada:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 7

Podemos simplificar a fração dividindo cada termo do numerador por :
Agora, tomamos o limite quando tende a 0:

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto é .

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