Usando a definição de derivada, determine o coeficiente angular,
da reta tangente à curva
no ponto
em cada caso.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o coeficiente angular, que é basicamente a inclinação da reta tangente à curva
no ponto
. Para isso, vamos usar a definição de derivada, que faz parte da matéria de Cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. Usando a definição, a derivada de
no ponto
é:
No nosso caso, queremos encontrar
, já que o ponto de interesse é
.
Passo 3
Vamos substituir
por 1 na fórmula:
Agora, precisamos calcular
e
.
Passo 4
A função dada é
. Vamos calcular
:
Então,
, que corresponde à coordenada y do ponto
.
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Primeiro, expandimos
:
Substituindo de volta:
Distribuindo os termos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, voltamos à fórmula da derivada:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 7
Podemos simplificar a fração dividindo cada termo do numerador por
:
Agora, tomamos o limite quando
tende a 0:
Resposta
O coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto
é
.
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