Determine a transformada de Laplace das seguintes funções, definidas para
(Escolher dois para entregar).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a transformada de Laplace de uma função definida por partes. A função que temos é:
Então, vamos usar conceitos de transformada de Laplace, que é uma técnica muito útil em matemática e engenharia para transformar funções do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar saber como aplicar a definição da transformada de Laplace em funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de uma função
é definida por:
No nosso caso, a função
é igual a
quando
e zero quando
. Isso significa que a integral vai de 0 até 3, porque além de 3 a função é zero e não contribui para a integral.
Então, podemos reescrever a transformada de Laplace como:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa integral. Para integrar
, usamos integração por partes, onde escolhemos:
-
⇒ -
⇒
A fórmula da integração por partes é:
Aplicando isso, temos:
Resolvendo a segunda integral:
Então, substituindo de volta:
Passo 4
Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 3:
Calculando em
:
E em
:
Subtraindo os valores:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar
:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é:
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Usando as regras de derivação, calcule a derivada da função a seguir:
Determine a transformada de Laplace das funções a seguir utilizando a tabela. (Escolher três para entregar).
Determine a derivada da função composta a seguir:
Resolva os problemas de valor inicial, utilizando o método da transformada de Laplace (Escolher um para entregar).
,