Determine a transformada de Laplace das seguintes funções, definidas para t ≥ 0 (Escolher dois para entregar).
f(x) = { t, t <= 3; 0, t > 3 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a transformada de Laplace de uma função definida por partes. A função que temos é:
Então, vamos usar conceitos de transformada de Laplace, que é uma técnica muito útil em matemática e engenharia para transformar funções do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar saber como aplicar a definição da transformada de Laplace em funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de uma função é definida por:
No nosso caso, a função é igual a quando e zero quando . Isso significa que a integral vai de 0 até 3, porque além de 3 a função é zero e não contribui para a integral.
Então, podemos reescrever a transformada de Laplace como:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa integral. Para integrar , usamos integração por partes, onde escolhemos:
A fórmula da integração por partes é:
Aplicando isso, temos:
Resolvendo a segunda integral:
Então, substituindo de volta:

Passo 4

Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 3:
Calculando em :
E em :
Subtraindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar :

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

Exercícios relacionados