Determine a transformada de Laplace das seguintes funções, definidas para t ≥ 0 (Escolher dois para entregar).
h(t) = { t, t <= 1 ; 2 - t, 1 < t <= 1.5 ; 0.5, t > 1.5 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver a transformada de Laplace da função definida por partes. A Transformada de Laplace é uma ferramenta que nos ajuda a transformar funções no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais. Para isso, vamos precisar conhecer a definição da transformada de Laplace e como aplicá-la a funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Laplace. Para uma função , a transformada é dada por:
No nosso caso, a função é definida por três intervalos:
Vamos escolher duas dessas partes para calcular a transformada de Laplace. Vamos calcular para e para .

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a transformada de Laplace para quando . Como a função é zero antes de , podemos escrever:

Passo 4

Vamos resolver a integral:
Usamos integração por partes, onde e . Então, e . Aplicando:
Agora, avaliamos de 0 a 1:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a transformada de Laplace para quando . Para isso, precisamos ajustar o limite de integração:

Passo 6

Resolvendo a integral:
Já sabemos que:
E:
Então:
Calculando cada parte:
Simplificando e agrupando termos:
Combine os termos semelhantes:

Resposta

As transformadas de Laplace das duas partes escolhidas da função são:
e

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