Determine a transformada de Laplace das seguintes funções, definidas para (Escolher dois para entregar).
Passo 1
Beleza, vamos resolver a transformada de Laplace da função definida por partes. A Transformada de Laplace é uma ferramenta que nos ajuda a transformar funções no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais. Para isso, vamos precisar conhecer a definição da transformada de Laplace e como aplicá-la a funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Laplace. Para uma função , a transformada é dada por:
No nosso caso, a função é definida por três intervalos:
Vamos escolher duas dessas partes para calcular a transformada de Laplace. Vamos calcular para e para .
Passo 3
Primeiro, vamos calcular a transformada de Laplace para quando . Como a função é zero antes de , podemos escrever:
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Usamos integração por partes, onde e . Então, e . Aplicando:
Agora, avaliamos de 0 a 1:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a transformada de Laplace para quando . Para isso, precisamos ajustar o limite de integração:
Passo 6
Resolvendo a integral:
Já sabemos que:
E:
Então:
Calculando cada parte:
Simplificando e agrupando termos:
Combine os termos semelhantes:
Resposta
As transformadas de Laplace das duas partes escolhidas da função são: