Utilizando a definição da transformada de Laplace (integral), determine a transformada das funções a seguir para
. (Escolher dois para entregar).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e precisa encontrar a transformada de Laplace dela usando a definição por integral. A transformada de Laplace é uma ferramenta super útil na matemática e engenharia para transformar funções do tempo
para o domínio da frequência
. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da transformada de Laplace e integrar a função com cuidado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Laplace. Ela é dada por:
No nosso caso,
. Então, vamos substituir na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Os expoentes com
podem ser somados:
Então, a integral fica:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar uma integração por partes. Lembre-se que integração por partes é baseada na fórmula:
Vamos escolher:
-
⇒ -
⇒
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Passo 6
Agora, resolvemos a segunda integral:
Substituindo de volta:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites da integral de 0 a
:
Quando
,
tende a 0, então o termo no infinito desaparece. Avaliando em 0:
Multiplicando pelos sinais:
Resposta
A transformada de Laplace de
é: