Utilizando a definição da transformada de Laplace (integral), determine a transformada das funções a seguir para t ≥ 0. (Escolher dois para entregar).
h(t) = t * e^(-2 * t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisa encontrar a transformada de Laplace dela usando a definição por integral. A transformada de Laplace é uma ferramenta super útil na matemática e engenharia para transformar funções do tempo para o domínio da frequência . Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da transformada de Laplace e integrar a função com cuidado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Laplace. Ela é dada por:
No nosso caso, . Então, vamos substituir na fórmula:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Os expoentes com podem ser somados:
Então, a integral fica:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar uma integração por partes. Lembre-se que integração por partes é baseada na fórmula:
Vamos escolher:

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:

Passo 6

Agora, resolvemos a segunda integral:
Substituindo de volta:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites da integral de 0 a :
Quando , tende a 0, então o termo no infinito desaparece. Avaliando em 0:
Multiplicando pelos sinais:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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