Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um problema de Transformada de Laplace, que é uma ferramenta da matemática usada para resolver equações diferenciais. A função que precisamos transformar é . Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição da Transformada de Laplace e algumas propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela é definida por:
Isso significa que a gente vai integrar a função multiplicada por de 0 até o infinito.
Passo 3
Vamos aplicar a definição na nossa função:
Essa integral pode parecer complicada, mas podemos simplificar usando uma propriedade conhecida das transformadas de Laplace.
Passo 4
Existe uma propriedade que relaciona a Transformada de Laplace com a integral de uma função. Especificamente:
onde é a Transformada de Laplace de . No nosso caso, .
Passo 5
Primeiro, vamos encontrar a Transformada de Laplace de :
Então,
Passo 6
Agora, aplicando a propriedade que mencionei antes:
Vamos simplificar essa integral.
Passo 7
Primeiro, vamos tirar o de fora da integral:
Para resolver essa integral, podemos usar frações parciais.
Passo 8
Fazendo frações parciais, temos:
Resolvendo para , encontramos que , , e . Então:
Passo 9
Agora, substituímos de volta na integral:
Isso simplifica para:
Passo 10
Ao avaliar os limites, percebemos que conforme tende ao infinito, ambos os logaritmos também tendem ao infinito, mas a diferença deles se cancela. Portanto, sobra apenas: