Determine as três dimensões
, de bagagem em formato de paralelepípedo despachada em voo de certa companhia, de modo a ter a capacidade, em
máxima, sabendo que a restrição é de que a soma das dimensões seja 320 cm , isto é,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar as três dimensões
,
e
de uma bagagem em formato de paralelepípedo que maximize o volume
. A condição que temos é que a soma das dimensões seja 320 cm, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar o método de otimização com restrição, especificamente os multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa maximizar o volume com uma restrição. A gente quer encontrar os valores de
,
e
que fazem o volume
ser o maior possível, mas sem que a soma dessas dimensões passe de 320 cm. Para isso, usamos os multiplicadores de Lagrange, que ajudam a otimizar uma função com uma condição extra.
Passo 3
Vamos montar a função de Lagrange. Ela é dada por:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange que incorpora a restrição
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a
,
,
e
e igualá-las a zero:
Passo 5
Observando as três primeiras equações:
Isso implica que
. Podemos dividir a segunda equação pela primeira (desde que
):
Da mesma forma, dividindo a terceira equação pela primeira:
Então,
.
Resposta
Como
e
, temos:
Portanto, as dimensões que maximizam o volume são aproximadamente
cm.
Exercícios relacionados
Obtenha a solução
do seguinte problema:
Usando que
, obtenha
tal que
.
Verifique se equações diferenciais seguintes são exatas, e resolve as que o forem: