Determine as três dimensões , de bagagem em formato de paralelepípedo despachada em voo de certa companhia, de modo a ter a capacidade, em máxima, sabendo que a restrição é de que a soma das dimensões seja 320 cm , isto é, .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar as três dimensões , e de uma bagagem em formato de paralelepípedo que maximize o volume . A condição que temos é que a soma das dimensões seja 320 cm, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar o método de otimização com restrição, especificamente os multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa maximizar o volume com uma restrição. A gente quer encontrar os valores de , e que fazem o volume ser o maior possível, mas sem que a soma dessas dimensões passe de 320 cm. Para isso, usamos os multiplicadores de Lagrange, que ajudam a otimizar uma função com uma condição extra.

Passo 3

Vamos montar a função de Lagrange. Ela é dada por:
Aqui, é o multiplicador de Lagrange que incorpora a restrição .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a , , e e igualá-las a zero:

Passo 5

Observando as três primeiras equações:
Isso implica que . Podemos dividir a segunda equação pela primeira (desde que ):
Da mesma forma, dividindo a terceira equação pela primeira:
Então, .

Resposta

Como e , temos:
Portanto, as dimensões que maximizam o volume são aproximadamente cm.

Exercícios relacionados

Obtenha a solução do seguinte problema:
Usando que , obtenha tal que .
Determine os valores máximos e mínimos da função restrita ao círculo .
Verifique se equações diferenciais seguintes são exatas, e resolve as que o forem: