Obtenha a solução u(x, t) do seguinte problema:
partial upartial t=-2 partial upartial x-u (x in R, t>0), u(x, 0)=1x^2+1 (x in R)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a solução de uma equação diferencial parcial. Aqui, estamos lidando com equações de transporte ou advecção, que fazem parte do estudo de Ecuaciones Diferenciais Parciais (PDEs). Para resolver isso, vamos precisar usar o método das características, que é uma técnica bacana pra resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação que temos:
partial upartial t = -2 partial upartial x - u
Essa é uma equação linear de primeira ordem. O método das características nos ajuda a transformar essa PDE em uma equação diferencial ordinária (ODE), que é mais fácil de resolver.

Passo 3

No método das características, buscamos curvas no espaço dxdt = -2 chamadas curvas características, onde a solução é constante ou varia de uma maneira controlada. Para isso, definimos:
Essa equação nos dá a inclinação das curvas características.

Passo 4

Vamos resolver a equação das características:
dxdt = -2 implies x = -2t + C
Aqui, é a constante de integração que determina cada curva característica específica.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar como partial upartial t + 2 partial upartial x = -u varia ao longo dessas características. A partir da equação original, reescrevemos para isolar dudt = -u :
Ao longo da curva característica, temos:
Isso é uma equação diferencial ordinária simples que podemos resolver.

Passo 6

Resolvendo a ODE:
dudt = -u implies u(t) = u0 e^-t
Onde é a condição inicial da solução na curva característica.

Passo 7

Precisamos relacionar x = C implies u0 = 1C^2 + 1 com a condição inicial dada u(t) = 1(x + 2t)^2 + 1 e^-t . Na curva característica quando , temos:
Substituindo (da equação ):

Resposta

A solução do problema é:
u(x, t) = e^-t(x + 2t)^2 + 1

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