Usando que , obtenha tal que .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem que achar uma função cuja transformada de Fourier, denotada por , seja igual a . Para isso, vamos usar a relação que foi dada: . Vamos precisar entender um pouco sobre transformadas de Fourier e como elas lidam com exponenciais e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever usando a expressão do cosseno em termos de exponenciais. Assim:
Isso nos dá:

Passo 3

Agora, lembrando das propriedades da transformada de Fourier, sabemos que multiplicar uma função no domínio de frequência por corresponde a um deslocamento no domínio do tempo (ou espaço, dependendo do contexto) na função original. Especificamente:
Aqui, temos e , o que sugere deslocamentos de na função original .

Passo 4

Vamos considerar que a transformada de Fourier de uma função gaussiana é outra gaussiana no domínio de frequência:
No nosso caso, temos , o que corresponde a , já que:
Portanto, a função no domínio do tempo seria:

Passo 5

Mas lembre-se que tínhamos os termos e na transformada. Isso significa que nossa função também terá componentes deslocadas. Assim, combinando tudo, temos:

Resposta

Portanto, a função que satisfaz é:

Exercícios relacionados

Encont que satisfaz .
Seja definida no intervalo de .
(ii) Encontre a série de senos mistos de Fourier da função em .
Obtenha a solução do seguinte problema:
Determine as três dimensões , de bagagem em formato de paralelepípedo despachada em voo de certa companhia, de modo a ter a capacidade, em máxima, sabendo que a restrição é de que a soma das dimensões seja 320 cm , isto é, .