A função f(x, y) = (x - 2)^3 + y^5 - 3x - 5y + 1 possui quatro pontos críticos. Classifique-os em mínimo local, um máximo local ou sela.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre encontrar e classificar os pontos críticos da função . Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde todas as derivadas parciais da função igualam a zero. Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial em relação a :
Agora, igualamos cada derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 4

Resolvendo as equações:
Para :
Para :
Então, os pontos críticos são as combinações de ou com ou . Isso nos dá quatro pontos:

Passo 5

Agora, para classificar esses pontos, usamos o teste da segunda derivada. Isso envolve calcular as derivadas segundas e o discriminante , que é dado por:
Primeiro, vamos encontrar as derivadas segundas:
Então, o discriminante fica:

Passo 6

Vamos calcular em cada ponto crítico e analisar:
  1. Ponto (1, 1):
    Como , é um ponto de sela.
  2. Ponto (1, -1):
    Além disso, , então é um máximo local.
  3. Ponto (3, 1):
    E , então é um mínimo local.
  4. Ponto (3, -1):
    Novamente, como , é um ponto de sela.

Resposta

Os quatro pontos críticos da função são classificados da seguinte forma:
  1. (1, 1): Ponto de sela.
  2. (1, -1): Máximo local.
  3. (3, 1): Mínimo local.
  4. (3, -1): Ponto de sela.

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