A função
possui quatro pontos críticos. Classifique-os em mínimo local, um máximo local ou sela.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre encontrar e classificar os pontos críticos da função
. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde todas as derivadas parciais da função igualam a zero. Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Agora, igualamos cada derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 4
Resolvendo as equações:
Para :
Para
Para
:
Então, os pontos críticos são as combinações de
ou
com
ou
. Isso nos dá quatro pontos:
Passo 5
Agora, para classificar esses pontos, usamos o teste da segunda derivada. Isso envolve calcular as derivadas segundas e o discriminante
, que é dado por:
Primeiro, vamos encontrar as derivadas segundas:
Então, o discriminante fica:
Passo 6
Vamos calcular
em cada ponto crítico e analisar:
-
Ponto (1, 1):Como
, é um ponto de sela. -
Ponto (1, -1):Além disso,
, então é um máximo local. -
Ponto (3, 1):E
, então é um mínimo local. -
Ponto (3, -1):Novamente, como
, é um ponto de sela.
Resposta
Os quatro pontos críticos da função
são classificados da seguinte forma:
- (1, 1): Ponto de sela.
- (1, -1): Máximo local.
- (3, 1): Mínimo local.
- (3, -1): Ponto de sela.
Exercícios relacionados
A função
possui dois pontos de mínimo local e um ponto de sela. Se
é um ponto de mínimo local localizado no quarto quadrante e
é o ponto de sela, determine a soma
.
Determine três números
e
não-negativos tais que
e cujo produto
é máximo.
A função
possui quatro pontos críticos no interior do retângulo
. Classifique-os em mínimo local, máximo local ou sela.
Determine o valor máximo
da função
na região compacta
:
.