Determine se os três pontos dados são colineares.
(1,-4),(-2,-13) e (5,8)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica. O problema nos pede para determinar se três pontos são colineares, ou seja, se eles estão alinhados em uma mesma reta. Os pontos que vamos analisar são (1, -4), (-2, -13) e (5, 8). Para isso, vamos precisar calcular as inclinações (ou inclinações) das retas que ligam cada par de pontos e verificar se essas inclinações são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que três pontos são colineares. Três pontos são colineares se eles estão todos em uma mesma linha reta. Para verificar isso, podemos calcular a inclinação das retas formadas por cada par de pontos e ver se todas as inclinações são iguais. Se forem iguais, os pontos estão na mesma reta; caso contrário, não estão.

Passo 3

A inclinação de uma reta que passa por dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é dada pela fórmula:
m = y2 - y1x2 - x1
Essa inclinação nos diz o quanto a reta sobe ou desce à medida que nos movemos de um ponto para o outro.

Passo 4

Vamos calcular a inclinação da reta que liga os dois primeiros pontos: (1, -4) e (-2, -13). Aplicando a fórmula:
m12 = -13 - (-4)-2 - 1 = -13 + 4-3 = -9-3 = 3
Então, a inclinação entre o primeiro e o segundo ponto é 3.

Passo 5

Agora, vamos calcular a inclinação da reta que liga o segundo e o terceiro ponto: (-2, -13) e (5, 8). Aplicando a fórmula novamente:
m23 = 8 - (-13)5 - (-2) = 8 + 135 + 2 = 217 = 3
A inclinação entre o segundo e o terceiro ponto também é 3.

Passo 6

Por último, vamos calcular a inclinação da reta que liga o primeiro e o terceiro ponto: (1, -4) e (5, 8). Aplicando a fórmula:
m13 = 8 - (-4)5 - 1 = 8 + 44 = 124 = 3
A inclinação entre o primeiro e o terceiro ponto é igualmente 3.

Resposta

Como todas as inclinações m12, m23 e m13 são iguais a 3, os três pontos (1, -4), (-2, -13) e (5, 8) são colineares.

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