Seja E=a1 e^x+a2 e^x-1+a3 e^x-2+a4 e^x-3 ; a1, a2, a3, a4 in R. Verifique que E é um espaço vetorial sobre R com dimensão 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar que o conjunto E = a1 e^x + a2 e^x-1 + a3 e^x-2 + a4 e^x-3 ; a1, a2, a3, a4 in R é um espaço vetorial sobre os números reais R e que a dimensão desse espaço é 1. Vamos usar conceitos de álgebra linear para resolver isso, como a definição de espaço vetorial e a ideia de dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos fazer operações de adição e multiplicação por escalar, e que seguem algumas regras básicas (como associatividade, existência de elemento neutro, etc.). No nosso caso, os vetores são funções da forma a1 e^x + a2 e^x-1 + a3 e^x-2 + a4 e^x-3.

Passo 3

Vamos verificar se E satisfaz as propriedades de um espaço vetorial:
  1. Fechamento na adição: Se pegarmos duas funções da forma da E e somarmos, ainda teremos uma função que é uma combinação linear das mesmas funções base e^x, e^x-1, e^x-2, e^x-3. Então, a soma está em E.
  2. Fechamento na multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma função da E por um número real, os coeficientes a1, a2, a3, a4 também serão multiplicados por esse escalar, mantendo a função dentro de E.
  3. Existência do elemento zero: Quando todos os ai = 0, a função resultante é zero, que está claramente em E.
E as demais propriedades (associatividade, distributividade, etc.) também são satisfeitas porque estamos lidando com combinações lineares de funções.

Passo 4

Agora que vimos que E é fechado sob adição e multiplicação por escalar, e que todas as propriedades de um espaço vetorial são satisfeitas, podemos afirmar que E é de fato um espaço vetorial sobre R.

Passo 5

Vamos agora determinar a dimensão de E. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço, ou seja, o número mínimo de vetores que podem gerar todo o espaço através de combinações lineares.
Observando as funções base de E:
e^x, e^x-1, e^x-2, e^x-3
Perceba que cada e^x-k pode ser escrito como e^-k e^x. Por exemplo:
e^x-1 = e^-1 e^x, e^x-2 = e^-2 e^x, e^x-3 = e^-3 e^x
Isso significa que todas essas funções são múltiplos escalares de e^x. Portanto, todas elas são essencialmente a mesma direção no espaço vetorial.

Passo 6

Como todas as funções na base são múltiplos de e^x, apenas uma delas é necessária para gerar todo o espaço. Isso implica que apenas um vetor é suficiente para formar uma base para E. Logo, a dimensão de E é 1.

Resposta

E é um espaço vetorial sobre R com dimensão 1.

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