Seja . Verifique que é um espaço vetorial sobre com dimensão 1.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar que o conjunto é um espaço vetorial sobre os números reais e que a dimensão desse espaço é 1. Vamos usar conceitos de álgebra linear para resolver isso, como a definição de espaço vetorial e a ideia de dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos fazer operações de adição e multiplicação por escalar, e que seguem algumas regras básicas (como associatividade, existência de elemento neutro, etc.). No nosso caso, os vetores são funções da forma .
Passo 3
Vamos verificar se satisfaz as propriedades de um espaço vetorial:
Fechamento na adição: Se pegarmos duas funções da forma da e somarmos, ainda teremos uma função que é uma combinação linear das mesmas funções base . Então, a soma está em .
Fechamento na multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma função da por um número real, os coeficientes também serão multiplicados por esse escalar, mantendo a função dentro de .
Existência do elemento zero: Quando todos os , a função resultante é zero, que está claramente em .
E as demais propriedades (associatividade, distributividade, etc.) também são satisfeitas porque estamos lidando com combinações lineares de funções.
Passo 4
Agora que vimos que é fechado sob adição e multiplicação por escalar, e que todas as propriedades de um espaço vetorial são satisfeitas, podemos afirmar que é de fato um espaço vetorial sobre .
Passo 5
Vamos agora determinar a dimensão de . A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço, ou seja, o número mínimo de vetores que podem gerar todo o espaço através de combinações lineares.
Observando as funções base de :
Perceba que cada pode ser escrito como . Por exemplo:
Isso significa que todas essas funções são múltiplos escalares de . Portanto, todas elas são essencialmente a mesma direção no espaço vetorial.
Passo 6
Como todas as funções na base são múltiplos de , apenas uma delas é necessária para gerar todo o espaço. Isso implica que apenas um vetor é suficiente para formar uma base para . Logo, a dimensão de é 1.