Verificar se os referidos planos são perpendiculares:
b) e
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se os planos dados são perpendiculares. Temos o plano e outro que está representado pelas equações paramétricas:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa dois planos serem perpendiculares e como identificar isso usando os vetores normais dos planos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor normal do plano . A equação geral de um plano é , onde o vetor normal é . No nosso caso, , então o vetor normal é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor normal do segundo plano. As equações paramétricas dadas representam uma reta, mas para encontrar o plano perpendicular a que contém essa reta, precisamos de um vetor diretor da reta.
As equações paramétricas são:
O vetor diretor da reta é .
Passo 4
Para dois planos serem perpendiculares, seus vetores normais devem ser perpendiculares, ou seja, o produto escalar entre eles deve ser zero. Portanto, precisamos encontrar o vetor normal do segundo plano de forma que .
Passo 5
Sabemos que a reta está no segundo plano, então deve ser perpendicular ao vetor diretor da reta . Portanto, temos:
Substituindo , temos:
Passo 6
Além disso, queremos que seja perpendicular a . Então:
Isso nos dá um sistema de equações para encontrar .
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, temos . Substituindo na primeira equação:
Portanto, . Podemos escolher para simplificar, então .
Passo 8
Agora, temos os vetores normais:
Vamos verificar o produto escalar:
Como o produto escalar é zero, os planos são perpendiculares.