Verificar se os referidos planos são perpendiculares:
  • b) e

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se os planos dados são perpendiculares. Temos o plano e outro que está representado pelas equações paramétricas:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa dois planos serem perpendiculares e como identificar isso usando os vetores normais dos planos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor normal do plano . A equação geral de um plano é , onde o vetor normal é . No nosso caso, , então o vetor normal é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor normal do segundo plano. As equações paramétricas dadas representam uma reta, mas para encontrar o plano perpendicular a que contém essa reta, precisamos de um vetor diretor da reta.
As equações paramétricas são:
O vetor diretor da reta é .

Passo 4

Para dois planos serem perpendiculares, seus vetores normais devem ser perpendiculares, ou seja, o produto escalar entre eles deve ser zero. Portanto, precisamos encontrar o vetor normal do segundo plano de forma que .

Passo 5

Sabemos que a reta está no segundo plano, então deve ser perpendicular ao vetor diretor da reta . Portanto, temos:
Substituindo , temos:

Passo 6

Além disso, queremos que seja perpendicular a . Então:
Isso nos dá um sistema de equações para encontrar .

Passo 7

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, temos . Substituindo na primeira equação:
Portanto, . Podemos escolher para simplificar, então .

Passo 8

Agora, temos os vetores normais:
Vamos verificar o produto escalar:
Como o produto escalar é zero, os planos são perpendiculares.

Resposta

Os planos e o segundo plano são perpendiculares.

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e
Seja a matriz . Determine:
(a) .