Verificar se os referidos planos são perpendiculares:
  • b) pi1: x+y-4=0 e cx=2-h+2 t y=h+t z=t

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se os planos dados são perpendiculares. Temos o plano pi1: x + y - 4 = 0 e outro que está representado pelas equações paramétricas:
x = 2 - h + 2t y = h + t z = t
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa dois planos serem perpendiculares e como identificar isso usando os vetores normais dos planos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor normal do plano pi1. A equação geral de um plano é Ax + By + Cz + D = 0, onde o vetor normal é n = (A, B, C). No nosso caso, pi1: x + y - 4 = 0, então o vetor normal é n1 = (1, 1, 0).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor normal do segundo plano. As equações paramétricas dadas representam uma reta, mas para encontrar o plano perpendicular a pi1 que contém essa reta, precisamos de um vetor diretor da reta.
As equações paramétricas são:
x = 2 - h + 2t y = h + t z = t
O vetor diretor da reta é d = (2, 1, 1).

Passo 4

Para dois planos serem perpendiculares, seus vetores normais devem ser perpendiculares, ou seja, o produto escalar entre eles deve ser zero. Portanto, precisamos encontrar o vetor normal do segundo plano n2 de forma que n1 cdot n2 = 0.

Passo 5

Sabemos que a reta está no segundo plano, então n2 deve ser perpendicular ao vetor diretor da reta d. Portanto, temos:
n2 cdot d = 0
Substituindo d = (2, 1, 1), temos:
n2 cdot (2, 1, 1) = 0

Passo 6

Além disso, queremos que n2 seja perpendicular a n1 = (1, 1, 0). Então:
n1 cdot n2 = 0
Isso nos dá um sistema de equações para encontrar n2.

Passo 7

Resolvendo o sistema:
2a + b + c = 0 a + b = 0
Da segunda equação, temos a = -b. Substituindo na primeira equação:
2(-b) + b + c = 0 Rightarrow -2b + b + c = 0 Rightarrow -b + c = 0 Rightarrow c = b
Portanto, n2 = (-b, b, b) = b(-1, 1, 1). Podemos escolher b = 1 para simplificar, então n2 = (-1, 1, 1).

Passo 8

Agora, temos os vetores normais:
n1 = (1, 1, 0) e n2 = (-1, 1, 1)
Vamos verificar o produto escalar:
n1 cdot n2 = (1)(-1) + (1)(1) + (0)(1) = -1 + 1 + 0 = 0
Como o produto escalar é zero, os planos são perpendiculares.

Resposta

Os planos pi1 e o segundo plano são perpendiculares.

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