Verificar se os referidos planos são perpendiculares:
b) e
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se os planos dados são perpendiculares. Temos o plano pi1: x + y - 4 = 0 e outro que está representado pelas equações paramétricas:
x = 2 - h + 2t y = h + t z = t
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa dois planos serem perpendiculares e como identificar isso usando os vetores normais dos planos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor normal do plano pi1. A equação geral de um plano é Ax + By + Cz + D = 0, onde o vetor normal é n = (A, B, C). No nosso caso, pi1: x + y - 4 = 0, então o vetor normal é n1 = (1, 1, 0).
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor normal do segundo plano. As equações paramétricas dadas representam uma reta, mas para encontrar o plano perpendicular a pi1 que contém essa reta, precisamos de um vetor diretor da reta.
As equações paramétricas são:
x = 2 - h + 2t y = h + t z = t
O vetor diretor da reta é d = (2, 1, 1).
Passo 4
Para dois planos serem perpendiculares, seus vetores normais devem ser perpendiculares, ou seja, o produto escalar entre eles deve ser zero. Portanto, precisamos encontrar o vetor normal do segundo plano n2 de forma que n1 cdot n2 = 0.
Passo 5
Sabemos que a reta está no segundo plano, então n2 deve ser perpendicular ao vetor diretor da reta d. Portanto, temos:
n2 cdot d = 0
Substituindo d = (2, 1, 1), temos:
n2 cdot (2, 1, 1) = 0
Passo 6
Além disso, queremos que n2 seja perpendicular a n1 = (1, 1, 0). Então:
n1 cdot n2 = 0
Isso nos dá um sistema de equações para encontrar n2.
Passo 7
Resolvendo o sistema:
2a + b + c = 0 a + b = 0
Da segunda equação, temos a = -b. Substituindo na primeira equação:
2(-b) + b + c = 0 Rightarrow -2b + b + c = 0 Rightarrow -b + c = 0 Rightarrow c = b
Portanto, n2 = (-b, b, b) = b(-1, 1, 1). Podemos escolher b = 1 para simplificar, então n2 = (-1, 1, 1).