Determine o volume da maior caixa retangular de lados paralelos aos planos coordenados no primeiro octante, que possa ser inscrita no elipsoide de equação cartesiana .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de otimização dentro de geometria analítica. A tarefa é descobrir qual é o maior volume possível de uma caixa retangular que fica no primeiro octante e está inscrita dentro de um elipsoide dado pela equação . Para resolver isso, vamos precisar entender como maximizar funções sujeitas a restrições, usando um pouco de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. O primeiro octante é a parte do espaço onde , e são todos positivos. Uma caixa retangular inscrita nesse espaço terá seus vértices tocando a superfície do elipsoide. Então, se a gente definir um vértice da caixa como , os outros vértices serão , , etc., mas como estamos no primeiro octante, só vamos considerar os positivos.

Passo 3

Agora, o volume da caixa retangular pode ser calculado multiplicando as dimensões , e :
Por quê o 8? Porque a caixa se estende em todas as direções a partir do centro, mas como estamos no primeiro octante, consideramos apenas uma parte. Mas para simplificar, vamos considerar apenas:

Passo 4

A restrição é que o ponto está no elipsoide:
Vamos utilizar essa equação para relacionar , e .

Passo 5

Para maximizar o volume sob a restrição , vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Isso envolve definir uma nova função:
Onde é o multiplicador de Lagrange.

Passo 6

Agora, vamos derivar em relação a , , e e igualar a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 7

Vamos resolver o sistema de equações. A partir das primeiras três equações, podemos expressar em termos de , e :
Igualando as duas primeiras expressões:
Fazendo o mesmo para as outras igualdades:
Simplificando, temos:

Passo 8

Agora, temos e em função de . Vamos substituir essas expressões na equação do elipsoide:
Calculando cada termo:

Passo 9

Agora que temos , vamos encontrar e :

Passo 10

Finalmente, vamos calcular o volume máximo :
Multiplicando:

Resposta

O volume máximo da caixa retangular é unidades cúbicas.

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