Determine o volume da maior caixa retangular de lados paralelos aos planos coordenados no primeiro octante, que possa ser inscrita no elipsoide de equação cartesiana
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de otimização dentro de geometria analítica. A tarefa é descobrir qual é o maior volume possível de uma caixa retangular que fica no primeiro octante e está inscrita dentro de um elipsoide dado pela equação
. Para resolver isso, vamos precisar entender como maximizar funções sujeitas a restrições, usando um pouco de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. O primeiro octante é a parte do espaço onde
,
e
são todos positivos. Uma caixa retangular inscrita nesse espaço terá seus vértices tocando a superfície do elipsoide. Então, se a gente definir um vértice da caixa como
, os outros vértices serão
,
, etc., mas como estamos no primeiro octante, só vamos considerar os positivos.
Passo 3
Agora, o volume
da caixa retangular pode ser calculado multiplicando as dimensões
,
e
:
Por quê o 8? Porque a caixa se estende em todas as direções a partir do centro, mas como estamos no primeiro octante, consideramos apenas uma parte. Mas para simplificar, vamos considerar apenas:
Passo 4
A restrição é que o ponto
está no elipsoide:
Vamos utilizar essa equação para relacionar
,
e
.
Passo 5
Para maximizar o volume
sob a restrição
, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Isso envolve definir uma nova função:
Onde
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
,
,
e
e igualar a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 7
Vamos resolver o sistema de equações. A partir das primeiras três equações, podemos expressar
em termos de
,
e
:
Igualando as duas primeiras expressões:
Fazendo o mesmo para as outras igualdades:
Simplificando, temos:
Passo 8
Agora, temos
e
em função de
. Vamos substituir essas expressões na equação do elipsoide:
Calculando cada termo:
Passo 9
Agora que temos
, vamos encontrar
e
:
Passo 10
Finalmente, vamos calcular o volume máximo
:
Multiplicando:
Resposta
O volume máximo da caixa retangular é
unidades cúbicas.