Determine o volume da maior caixa retangular de lados paralelos aos planos coordenados no primeiro octante, que possa ser inscrita no elipsoide de equação cartesiana .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de otimização dentro de geometria analítica. A tarefa é descobrir qual é o maior volume possível de uma caixa retangular que fica no primeiro octante e está inscrita dentro de um elipsoide dado pela equação . Para resolver isso, vamos precisar entender como maximizar funções sujeitas a restrições, usando um pouco de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. O primeiro octante é a parte do espaço onde , e são todos positivos. Uma caixa retangular inscrita nesse espaço terá seus vértices tocando a superfície do elipsoide. Então, se a gente definir um vértice da caixa como , os outros vértices serão , , etc., mas como estamos no primeiro octante, só vamos considerar os positivos.
Passo 3
Agora, o volume da caixa retangular pode ser calculado multiplicando as dimensões , e :
Por quê o 8? Porque a caixa se estende em todas as direções a partir do centro, mas como estamos no primeiro octante, consideramos apenas uma parte. Mas para simplificar, vamos considerar apenas:
Passo 4
A restrição é que o ponto está no elipsoide:
Vamos utilizar essa equação para relacionar , e .
Passo 5
Para maximizar o volume sob a restrição , vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Isso envolve definir uma nova função:
Onde é o multiplicador de Lagrange.
Passo 6
Agora, vamos derivar em relação a , , e e igualar a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 7
Vamos resolver o sistema de equações. A partir das primeiras três equações, podemos expressar em termos de , e :
Igualando as duas primeiras expressões:
Fazendo o mesmo para as outras igualdades:
Simplificando, temos:
Passo 8
Agora, temos e em função de . Vamos substituir essas expressões na equação do elipsoide:
Calculando cada termo:
Passo 9
Agora que temos , vamos encontrar e :
Passo 10
Finalmente, vamos calcular o volume máximo :
Multiplicando:
Resposta
O volume máximo da caixa retangular é unidades cúbicas.