Vamos resumir o que o exercício pede e o que vamos precisar para resolver. O enunciado nos dá uma transformação que converte coordenadas esféricas em coordenadas cartesianas . Precisamos determinar o valor absoluto do determinante da matriz jacobiana dessa transformação, ou seja, .
Conteúdo da matéria: Mudança de coordenadas, coordenadas esféricas e cartesianas, cálculo de derivadas parciais e determinantes de matrizes jacobianas.
O que vamos precisar: Saber calcular derivadas parciais, montar a matriz jacobiana e calcular seu determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as expressões para x = rho sin phi cos theta y = rho sin phi sin theta z = rho cos phi , e em termos de , e conforme a transformação dada:
Passo 3
Agora, vamos construir a matriz jacobiana J = partial xpartial theta & partial xpartial phi & partial xpartial rho partial ypartial theta & partial ypartial phi & partial ypartial rho partial zpartial theta & partial zpartial phi & partial zpartial rho , que é a matriz das derivadas parciais de partial xpartial theta = -rho sin phi sin theta , partial xpartial phi = rho cos phi cos theta e partial xpartial rho = sin phi cos theta em relação a partial ypartial theta = rho sin phi cos theta , partial ypartial phi = rho cos phi sin theta e partial ypartial rho = sin phi sin theta :
partial zpartial theta = 0
Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
Para partial zpartial phi = -rho sin phi :
partial zpartial rho = cos phi
J = -rho sin phi sin theta & rho cos phi cos theta & sin phi cos theta rho sin phi cos theta & rho cos phi sin theta & sin phi sin theta 0 & -rho sin phi & cos phi
Para :
Para :
Então, a matriz jacobiana fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz jacobiana. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou expansão de cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar.
det(J) = (-rho sin phi sin theta) cdot (rho cos phi sin theta) cdot (cos phi) + (rho cos phi cos theta) cdot (sin phi sin theta) cdot 0 + (sin phi cos theta) cdot (rho sin phi cos theta) cdot (-rho sin phi)
- [ (sin phi cos theta) cdot (rho cos phi sin theta) cdot 0 + (-rho sin phi sin theta) cdot (sin phi sin theta) cdot cos phi + (rho sin phi cos theta) cdot (rho cos phi cos theta) cdot (-rho sin phi) ]
No entanto, essa expressão fica bastante complicada. Uma maneira mais simples de calcular o determinante é observar que a última coluna contém derivadas com respeito a , que simplificam o cálculo. Na verdade, sabemos que em coordenadas esféricas, o determinante da jacobiana é . Vamos confirmar isso.
Passo 5
Observando a matriz jacobiana, podemos identificar os fatores que contribuem para o determinante. Perceba que quando multiplicamos as diagonais principais e aplicamos simplificações, acabamos chegando a uma expressão que é proporcional a det(J) = rho^2 sin phi .
Portanto, após simplificar todos os termos, encontramos:
Resposta
|partial(x, y, z)partial(theta, phi, rho)| = rho^2 sin phi