Questão 11 Para cada um dos seguintes, mostre que os vetores dados são linearmente independentes em
.
-
-
-
-
onde
é o espaço vetorial de funções continuas no intervalo
.
onde
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que, em cada um dos conjuntos de funções dadas, os vetores são linearmente independentes no espaço
, que é o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de independência linear, que basicamente verifica se nenhuma função pode ser escrita como combinação linear das outras.
Passo 2
Conjunto 1:
Primeiro, vamos assumir que existe uma combinação linear dessas funções que dá a função zero:
Queremos mostrar que os únicos valores possíveis para
e
são zero.
Sabemos que as funções
e
são ortogonais e formam uma base no espaço das funções trigonométricas. Isso significa que a única combinação que resulta em zero é quando ambos os coeficientes são zero:
Portanto, as funções
e
são linearmente independentes.
Passo 3
Conjunto 2:
Vamos assumir uma combinação linear dessas funções igual a zero:
Simplificando:
Para que isso seja verdade para todo
, os coeficientes de
,
e o termo constante devem ser zero:
Resolvendo o sistema:
Substituindo na primeira equação:
Assim,
, o que prova que as funções são linearmente independentes.
Passo 4
Conjunto 3:
Vamos supor que existe uma combinação linear igual a zero:
Para resolver isso, podemos considerar valores específicos de
. Por exemplo, para
:
E para
:
E para
:
Resolvendo esse sistema de equações, a única solução possível é
, o que mostra que as funções são linearmente independentes.
Passo 5
Conjunto 4:
Vamos assumir uma combinação linear igual a zero:
Fatorando
:
Como
não é zero para
, temos que:
A única maneira disso ser verdade para todos os
é se
e
. Portanto, as funções são linearmente independentes.
Resposta
Todas as combinações de funções apresentadas são linearmente independentes no espaço
.