Questão 11 Para cada um dos seguintes, mostre que os vetores dados são linearmente independentes em .

  • onde é o espaço vetorial de funções continuas no intervalo .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que, em cada um dos conjuntos de funções dadas, os vetores são linearmente independentes no espaço , que é o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo . Para resolver isso, vamos usar o conceito de independência linear, que basicamente verifica se nenhuma função pode ser escrita como combinação linear das outras.

Passo 2

Conjunto 1:
Primeiro, vamos assumir que existe uma combinação linear dessas funções que dá a função zero:
Queremos mostrar que os únicos valores possíveis para e são zero.
Sabemos que as funções e são ortogonais e formam uma base no espaço das funções trigonométricas. Isso significa que a única combinação que resulta em zero é quando ambos os coeficientes são zero:
Portanto, as funções e são linearmente independentes.

Passo 3

Conjunto 2:
Vamos assumir uma combinação linear dessas funções igual a zero:
Simplificando:
Para que isso seja verdade para todo , os coeficientes de , e o termo constante devem ser zero:
Resolvendo o sistema:
Substituindo na primeira equação:
Assim, , o que prova que as funções são linearmente independentes.

Passo 4

Conjunto 3:
Vamos supor que existe uma combinação linear igual a zero:
Para resolver isso, podemos considerar valores específicos de . Por exemplo, para :
E para :
E para :
Resolvendo esse sistema de equações, a única solução possível é , o que mostra que as funções são linearmente independentes.

Passo 5

Conjunto 4:
Vamos assumir uma combinação linear igual a zero:
Fatorando :
Como não é zero para , temos que:
A única maneira disso ser verdade para todos os é se e . Portanto, as funções são linearmente independentes.

Resposta

Todas as combinações de funções apresentadas são linearmente independentes no espaço .

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Seja o espaço vetorial das funções contínuas a valores reais, isto é . Mostre que a função , que associa a cada função o valor real da integral definida de no intervalo , isto é,
é uma transformação linear.
(b) De acordo com o item anterior, o ângulo entre o vetor e o vetor é
( ) ( ) menor que ( ) maior que ;
( ) impossível afirmar algo sobre o ângulo com as informações dadas. Assinale uma das alternativas anteriores e justifique.
Determine sabendo que este vetor tem norma , é ortogonal a e a , e forma ângulo agudo com .
Determine a expressão algébrica da transformação linear que leva os vetores da base canônica nos seguintes vetores de :