Questão 11 Para cada um dos seguintes, mostre que os vetores dados são linearmente independentes em C[0,1].
  • cos (pi x), sin (pi x)
  • 1, e^x+e^-x, e^x-e^-x
  • e^x, e^-x, e^2 x
  • x^3 / 2, x^5 / 2
    onde C[0,1] é o espaço vetorial de funções continuas no intervalo [0,1].

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que, em cada um dos conjuntos de funções dadas, os vetores são linearmente independentes no espaço , que é o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo . Para resolver isso, vamos usar o conceito de independência linear, que basicamente verifica se nenhuma função pode ser escrita como combinação linear das outras.

Passo 2

Conjunto 1: a cos(pi x) + b sin(pi x) = 0 para todo x in [0,1]
Primeiro, vamos assumir que existe uma combinação linear dessas funções que dá a função zero:
a = 0 e b = 0
Queremos mostrar que os únicos valores possíveis para e são zero.
Sabemos que as funções e são ortogonais e formam uma base no espaço das funções trigonométricas. Isso significa que a única combinação que resulta em zero é quando ambos os coeficientes são zero:
Portanto, as funções e são linearmente independentes.

Passo 3

Conjunto 2: c1 cdot 1 + c2 (e^x + e^-x) + c3 (e^x - e^-x) = 0 para todo x in [0,1]
Vamos assumir uma combinação linear dessas funções igual a zero:
c1 + (c2 + c3)e^x + (c2 - c3)e^-x = 0
Simplificando:
c2 + c3 = 0 c2 - c3 = 0 c1 = 0
Para que isso seja verdade para todo c2 + c3 = 0 c2 - c3 = 0 implies c2 = c3 , os coeficientes de c2 + c2 = 0 implies 2c2 = 0 implies c2 = 0 implies c3 = 0 , e o termo constante devem ser zero:
Resolvendo o sistema:
Substituindo na primeira equação:
Assim, , o que prova que as funções são linearmente independentes.

Passo 4

Conjunto 3: d1 e^x + d2 e^-x + d3 e^2x = 0 para todo x in [0,1]
Vamos supor que existe uma combinação linear igual a zero:
d1 + d2 + d3 = 0
Para resolver isso, podemos considerar valores específicos de d1 e + d2 e^-1 + d3 e^2 = 0 . Por exemplo, para d1 e^2 + d2 e^-2 + d3 e^4 = 0 :
E para :
E para :
Resolvendo esse sistema de equações, a única solução possível é , o que mostra que as funções são linearmente independentes.

Passo 5

Conjunto 4: k1 x^3/2 + k2 x^5/2 = 0 para todo x in [0,1]
Vamos assumir uma combinação linear igual a zero:
x^3/2 (k1 + k2 x) = 0
Fatorando k1 + k2 x = 0 para todo x in (0,1] :
Como não é zero para , temos que:
A única maneira disso ser verdade para todos os é se e . Portanto, as funções são linearmente independentes.

Resposta

Todas as combinações de funções apresentadas são linearmente independentes no espaço .

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