Determine se e são linearmente dependentes ou não:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se os vetores e são linearmente dependentes ou não. Isso está no tópico de álgebra linear, especificamente sobre dependência e independência linear de vetores. Para resolver isso, vamos verificar se um vetor é múltiplo do outro.

Passo 2

Primeiro, entendamos o que significa dois vetores serem linearmente dependentes. Se existe um número real (chamado de escalar) tal que , então os vetores são dependentes. Se não existir tal , os vetores são independentes.

Passo 3

Vamos tentar encontrar esse escalar . Para isso, vamos comparar as componentes correspondentes dos vetores e .
Para a primeira componente:
Resolvendo para :

Passo 4

Agora, vamos verificar se esse mesmo funciona para as outras componentes.
Para a segunda componente:
Substituindo :
Isso não é verdade!

Passo 5

Como não conseguimos um único que satisfaz todas as componentes, concluímos que não existe um escalar que multiplicando resulta em .

Resposta

Os vetores e não são linearmente dependentes.

Exercícios relacionados

Seja a transformação linear dada pela matriz abaixo. Calcule uma base para a imagem de , i.e., para .
Seja, como na Questão 24, o conjunto dos polinômios a uma variável e coeficientes reais. Seja o conjunto dos de grau menor ou igual a 3 e que tem o zero como raiz.
(1) Calcule uma base ordenada para contendo e não contendo .
(2) Calcule uma base ordenada para contendo e não contendo .
(3) Calcule as coordenadas de na base .
(4) Calcule as coordenadas de na base .
(5) Calcule a matriz mudança de base da base para a base .
Se é uma transformação linear tal que e
Observem que os vetores formam uma base (ortogonal) de . é injetora? T é sobrejetora? Justifique.
Mostre que o conjunto de todos os vetores de ordem com primeira coordenada nula forma um espaço vetorial em relação às operações usuais de adição e multiplicação por escalar de -uplas.