Determine se u e v são linearmente dependentes ou não: u=(4,3,-2), v=(2,-6,7)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se os vetores e são linearmente dependentes ou não. Isso está no tópico de álgebra linear, especificamente sobre dependência e independência linear de vetores. Para resolver isso, vamos verificar se um vetor é múltiplo do outro.

Passo 2

Primeiro, entendamos o que significa dois vetores serem linearmente dependentes. Se existe um número real (chamado de escalar) tal que , então os vetores são dependentes. Se não existir tal , os vetores são independentes.

Passo 3

Vamos tentar encontrar esse escalar 4 = 2 lambda . Para isso, vamos comparar as componentes correspondentes dos vetores lambda = 42 = 2 e .
Para a primeira componente:
Resolvendo para :

Passo 4

Agora, vamos verificar se esse mesmo 3 = -6 lambda funciona para as outras componentes.
Para a segunda componente:
3 = -6 times 2
Substituindo 3 = -12 :
Isso não é verdade!

Passo 5

Como não conseguimos um único que satisfaz todas as componentes, concluímos que não existe um escalar que multiplicando resulta em .

Resposta

Os vetores e não são linearmente dependentes.

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