Mostre que o conjunto W=(0, x2, x3, ldots, xn) mid xi in R de todos os vetores de ordem n com primeira coordenada nula forma um espaço vetorial em relação às operações usuais de adição e multiplicação por escalar de n-uplas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o conjunto é um espaço vetorial. Estamos falando de espaços vetoriais, que são conjuntos de vetores que obedecem certas regras de adição e multiplicação por escalar. Para provar que é um espaço vetorial, vamos seguir alguns passos básicos que definem um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Observamos que a primeira coordenada é zero, e todas as outras coordenadas também são zero, que são números reais. Portanto, pertence a .

Passo 3

Agora, vamos conferir se é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores qualquer de , a soma deles também deve estar em . Seja e em . A soma deles é . Como a primeira coordenada continua sendo zero e as outras são reais, também está em .

Passo 4

Por último, vamos ver se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se multiplicarmos qualquer vetor de por um número real, o resultado ainda está em . Seja em e um escalar real. A multiplicação por escalar é . A primeira coordenada continua zero e as demais são produtos de números reais, então está em .

Resposta

Como o conjunto contém o vetor zero, e é fechado tanto sob adição quanto sob multiplicação por escalar, concluímos que é de fato um espaço vetorial.

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