Mostre que o conjunto de todos os vetores de ordem com primeira coordenada nula forma um espaço vetorial em relação às operações usuais de adição e multiplicação por escalar de -uplas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o conjunto é um espaço vetorial. Estamos falando de espaços vetoriais, que são conjuntos de vetores que obedecem certas regras de adição e multiplicação por escalar. Para provar que é um espaço vetorial, vamos seguir alguns passos básicos que definem um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Observamos que a primeira coordenada é zero, e todas as outras coordenadas também são zero, que são números reais. Portanto, pertence a .

Passo 3

Agora, vamos conferir se é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores qualquer de , a soma deles também deve estar em . Seja e em . A soma deles é . Como a primeira coordenada continua sendo zero e as outras são reais, também está em .

Passo 4

Por último, vamos ver se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se multiplicarmos qualquer vetor de por um número real, o resultado ainda está em . Seja em e um escalar real. A multiplicação por escalar é . A primeira coordenada continua zero e as demais são produtos de números reais, então está em .

Resposta

Como o conjunto contém o vetor zero, e é fechado tanto sob adição quanto sob multiplicação por escalar, concluímos que é de fato um espaço vetorial.

Exercícios relacionados

Se é uma transformação linear tal que e
Observem que os vetores formam uma base (ortogonal) de . é injetora? T é sobrejetora? Justifique.
Determine se e são linearmente dependentes ou não:
Seja . Verifique que é um espaço vetorial sobre com dimensão 3. Seja a aplicação derivada, i.e., é a derivada de . Escolha uma base ordenada para e calcule nesta base.
Seja a transformação linear Ax dada pela matriz abaixo. Seja . Calcule uma base para .