Mostre que o conjunto
de todos os vetores de ordem
com primeira coordenada nula forma um espaço vetorial em relação às operações usuais de adição e multiplicação por escalar de
-uplas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o conjunto
é um espaço vetorial. Estamos falando de espaços vetoriais, que são conjuntos de vetores que obedecem certas regras de adição e multiplicação por escalar. Para provar que
é um espaço vetorial, vamos seguir alguns passos básicos que definem um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Observamos que a primeira coordenada é zero, e todas as outras coordenadas também são zero, que são números reais. Portanto,
pertence a
.
Passo 3
Agora, vamos conferir se
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores qualquer de
, a soma deles também deve estar em
. Seja
e
em
. A soma deles é
. Como a primeira coordenada continua sendo zero e as outras são reais,
também está em
.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se multiplicarmos qualquer vetor de
por um número real, o resultado ainda está em
. Seja
em
e
um escalar real. A multiplicação por escalar é
. A primeira coordenada continua zero e as demais são produtos de números reais, então
está em
.
Resposta
Como o conjunto
contém o vetor zero, e é fechado tanto sob adição quanto sob multiplicação por escalar, concluímos que
é de fato um espaço vetorial.
Exercícios relacionados
Se
é uma transformação linear tal que
e
Observem que os vetores formam uma base (ortogonal) de
.
é injetora? T é sobrejetora? Justifique.
Observem que os vetores
Determine se
e
são linearmente dependentes ou não:
Seja
. Verifique que
é um espaço vetorial sobre
com dimensão 3. Seja
a aplicação derivada, i.e.,
é a derivada de
. Escolha uma base ordenada para
e calcule
nesta base.
Seja
a transformação linear
Ax dada pela matriz
abaixo. Seja
. Calcule uma base para
.