Seja a transformação linear dada pela matriz abaixo. Calcule uma base para a imagem de , i.e., para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma base para a imagem da transformação linear , que é basicamente o conjunto de todas as possíveis combinações lineares das colunas da matriz . Ou seja, queremos descobrir quais vetores na são suficientes para “gerar” toda a imagem de . Para isso, vamos precisar trabalhar com conceitos de espaço vetorial, transformações lineares e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores resultantes de multiplicar a matriz por vetores de . Isso significa que a imagem é o espaço coluna de , ou seja, todas as combinações lineares das colunas de .
Passo 3
Para encontrar uma base para essa imagem, precisamos identificar um conjunto de vetores linhas independentes que geram todo o espaço coluna. Isso geralmente é feito colocando a matriz em forma escalonada reduzida por linhas (REF) ou forma escalonada reduzida por linhas por meio de operações elementares. Essas operações nos ajudam a identificar quais colunas são pivôs, ou seja, aquelas que são essenciais para formar a base.
Passo 4
Vamos começar aplicando operações de linha na matriz A = 1 & -12 & 1 & 1 & 3 0 & 0 & 2 & 2 & 8 -2 & 1 & -2 & -2 & -6 0 & 0 & 1 & 1 & 4 para simplificá-la:
Identificamos as colunas pivôs: a primeira e a terceira. Isso significa que as colunas originais correspondentes a essas posições na matriz são essenciais para formar a base da imagem de .