Seja a transformação linear dada pela matriz abaixo. Calcule uma base para a imagem de , i.e., para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma base para a imagem da transformação linear , que é basicamente o conjunto de todas as possíveis combinações lineares das colunas da matriz . Ou seja, queremos descobrir quais vetores na são suficientes para “gerar” toda a imagem de . Para isso, vamos precisar trabalhar com conceitos de espaço vetorial, transformações lineares e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores resultantes de multiplicar a matriz por vetores de . Isso significa que a imagem é o espaço coluna de , ou seja, todas as combinações lineares das colunas de .

Passo 3

Para encontrar uma base para essa imagem, precisamos identificar um conjunto de vetores linhas independentes que geram todo o espaço coluna. Isso geralmente é feito colocando a matriz em forma escalonada reduzida por linhas (REF) ou forma escalonada reduzida por linhas por meio de operações elementares. Essas operações nos ajudam a identificar quais colunas são pivôs, ou seja, aquelas que são essenciais para formar a base.

Passo 4

Vamos começar aplicando operações de linha na matriz para simplificá-la:
Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar o elemento abaixo dela na terceira linha:
  • Linha 3 = Linha 3 + 2 × Linha 1

Passo 5

Agora, vamos observar que a quarta linha tem um 1 na terceira coluna. Podemos usá-la para simplificar a segunda linha:
  • Linha 2 = Linha 2 - 2 × Linha 4

Passo 6

Agora, nossa matriz está quase na forma escalonada. Vamos reorganizar as linhas para deixar os vetores não nulos no topo:

Passo 7

Identificamos as colunas pivôs: a primeira e a terceira. Isso significa que as colunas originais correspondentes a essas posições na matriz são essenciais para formar a base da imagem de .

Passo 8

Vamos extrair essas colunas da matriz original :

Resposta

Uma base para a imagem de é formada pelos vetores

Exercícios relacionados

Seja, como na Questão 24, o conjunto dos polinômios a uma variável e coeficientes reais. Seja o conjunto dos de grau menor ou igual a 3 e que tem o zero como raiz.
(1) Calcule uma base ordenada para contendo e não contendo .
(2) Calcule uma base ordenada para contendo e não contendo .
(3) Calcule as coordenadas de na base .
(4) Calcule as coordenadas de na base .
(5) Calcule a matriz mudança de base da base para a base .
Determine se e são linearmente dependentes ou não:
Se é uma transformação linear tal que e
Observem que os vetores formam uma base (ortogonal) de . é injetora? T é sobrejetora? Justifique.