Seja T: R^5 R^4 a transformação linear T(x)=A x dada pela matriz A abaixo. Calcule uma base para a imagem de T, i.e., para T(R^5) subset R^4.
A=(ccccc 1 & -1 / 2 & 1 & 1 & 3 0 & 0 & 2 & 2 & 8 -2 & 1 & -2 & -2 & -6 0 & 0 & 1 & 1 & 4 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma base para a imagem da transformação linear , que é basicamente o conjunto de todas as possíveis combinações lineares das colunas da matriz . Ou seja, queremos descobrir quais vetores na são suficientes para “gerar” toda a imagem de . Para isso, vamos precisar trabalhar com conceitos de espaço vetorial, transformações lineares e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores resultantes de multiplicar a matriz por vetores de . Isso significa que a imagem é o espaço coluna de , ou seja, todas as combinações lineares das colunas de .

Passo 3

Para encontrar uma base para essa imagem, precisamos identificar um conjunto de vetores linhas independentes que geram todo o espaço coluna. Isso geralmente é feito colocando a matriz em forma escalonada reduzida por linhas (REF) ou forma escalonada reduzida por linhas por meio de operações elementares. Essas operações nos ajudam a identificar quais colunas são pivôs, ou seja, aquelas que são essenciais para formar a base.

Passo 4

Vamos começar aplicando operações de linha na matriz A = 1 & -12 & 1 & 1 & 3 0 & 0 & 2 & 2 & 8 -2 & 1 & -2 & -2 & -6 0 & 0 & 1 & 1 & 4 para simplificá-la:
A = 1 & -12 & 1 & 1 & 3 0 & 0 & 2 & 2 & 8 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 4
Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar o elemento abaixo dela na terceira linha:
  • Linha 3 = Linha 3 + 2 × Linha 1

Passo 5

Agora, vamos observar que a quarta linha tem um 1 na terceira coluna. Podemos usá-la para simplificar a segunda linha:
  • Linha 2 = Linha 2 - 2 × Linha 4
A = 1 & -12 & 1 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 4

Passo 6

Agora, nossa matriz está quase na forma escalonada. Vamos reorganizar as linhas para deixar os vetores não nulos no topo:
A = 1 & -12 & 1 & 1 & 3 0 & 0 & 1 & 1 & 4 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 7

Identificamos as colunas pivôs: a primeira e a terceira. Isso significa que as colunas originais correspondentes a essas posições na matriz são essenciais para formar a base da imagem de .

Passo 8

Vamos extrair essas colunas da matriz original Coluna 1 = 1 0 -2 0 , Coluna 3 = 1 2 -2 1 :

Resposta

Uma base para a imagem de 1 0 -2 0 , 1 2 -2 1 é formada pelos vetores

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