Se
é uma transformação linear tal que
e
Observem que os vetores
formam uma base (ortogonal) de
.
é injetora? T é sobrejetora? Justifique.
Observem que os vetores
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma transformação linear
. A gente recebeu três vetores que formam uma base ortogonal de
e as imagens desses vetores pela transformação
. Nosso objetivo é descobrir se
é injetora (ou seja, se transforma vetores diferentes em vetores diferentes) e se é sobrejetora (ou seja, se todo vetor em
é imagem de algum vetor em
). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes de transformações lineares, injetividade e sobrejetividade.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação
como uma matriz. Como
vai de
para
, a matriz de
terá 2 linhas e 3 colunas, ou seja, uma matriz de tamanho
.
Passo 3
Sabemos que
é definido nos vetores da base. Então, podemos montar a matriz
de
assim:
Passo 4
Agora, para verificar se
é injetora, precisamos ver se o núcleo da transformação contém somente o vetor zero. Isso equivale a verificar se a matriz
tem posto igual ao número de colunas, ou seja, se as colunas são linearmente independentes.
Passo 5
Vamos calcular o posto da matriz
. Olhando para a matriz:
Podemos ver que a terceira coluna não é uma combinação linear das primeiras, então o posto é 2, que é menor que o número de colunas (3). Isso significa que as colunas são linearmente dependentes.
Passo 6
Como o posto de
é menor que 3, o núcleo de
tem dimensão maior que zero. Portanto, existem vetores não nulos em
que são mapeados para o vetor zero em
. Isso mostra que
não é injetora.
Passo 7
Agora, vamos verificar se
é sobrejetora. Para isso, precisamos ver se o corpo de chegada
é todo coberto pela imagem de
. Isso acontece se o posto de
for igual ao número de linhas, que no caso é 2.
Passo 8
Como já vimos que o posto de
é 2, que é igual ao número de linhas de
, a imagem de
é todo o
. Portanto,
é sobrejetora.
Resposta
A transformação
não é injetora, mas é sobrejetora.