Se T: R^3 R^2 é uma transformação linear tal que T(1,1,1)=(0,6), T(-1,0,1)=(-2,1) e T(1,-2,1)=(0,3)
Observem que os vetores (1,1,1),(-1,0,1),(1,-2,1) formam uma base (ortogonal) de R^3. T é injetora? T é sobrejetora? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma transformação linear . A gente recebeu três vetores que formam uma base ortogonal de e as imagens desses vetores pela transformação . Nosso objetivo é descobrir se é injetora (ou seja, se transforma vetores diferentes em vetores diferentes) e se é sobrejetora (ou seja, se todo vetor em é imagem de algum vetor em ). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes de transformações lineares, injetividade e sobrejetividade.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação como uma matriz. Como vai de para , a matriz de terá 2 linhas e 3 colunas, ou seja, uma matriz de tamanho .

Passo 3

Sabemos que A = T(1,1,1) & T(-1,0,1) & T(1,-2,1) = 0 & -2 & 0 6 & 1 & 3 é definido nos vetores da base. Então, podemos montar a matriz de assim:

Passo 4

Agora, para verificar se é injetora, precisamos ver se o núcleo da transformação contém somente o vetor zero. Isso equivale a verificar se a matriz tem posto igual ao número de colunas, ou seja, se as colunas são linearmente independentes.

Passo 5

Vamos calcular o posto da matriz A = 0 & -2 & 0 6 & 1 & 3 . Olhando para a matriz:
Podemos ver que a terceira coluna não é uma combinação linear das primeiras, então o posto é 2, que é menor que o número de colunas (3). Isso significa que as colunas são linearmente dependentes.

Passo 6

Como o posto de é menor que 3, o núcleo de tem dimensão maior que zero. Portanto, existem vetores não nulos em que são mapeados para o vetor zero em . Isso mostra que não é injetora.

Passo 7

Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Para isso, precisamos ver se o corpo de chegada é todo coberto pela imagem de . Isso acontece se o posto de for igual ao número de linhas, que no caso é 2.

Passo 8

Como já vimos que o posto de é 2, que é igual ao número de linhas de , a imagem de é todo o . Portanto, é sobrejetora.

Resposta

A transformação não é injetora, mas é sobrejetora.

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