Se é uma transformação linear tal que e
Observem que os vetores formam uma base (ortogonal) de . é injetora? T é sobrejetora? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma transformação linear . A gente recebeu três vetores que formam uma base ortogonal de e as imagens desses vetores pela transformação . Nosso objetivo é descobrir se é injetora (ou seja, se transforma vetores diferentes em vetores diferentes) e se é sobrejetora (ou seja, se todo vetor em é imagem de algum vetor em ). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes de transformações lineares, injetividade e sobrejetividade.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação como uma matriz. Como vai de para , a matriz de terá 2 linhas e 3 colunas, ou seja, uma matriz de tamanho .
Passo 3
Sabemos que é definido nos vetores da base. Então, podemos montar a matriz de assim:
Passo 4
Agora, para verificar se é injetora, precisamos ver se o núcleo da transformação contém somente o vetor zero. Isso equivale a verificar se a matriz tem posto igual ao número de colunas, ou seja, se as colunas são linearmente independentes.
Passo 5
Vamos calcular o posto da matriz . Olhando para a matriz:
Podemos ver que a terceira coluna não é uma combinação linear das primeiras, então o posto é 2, que é menor que o número de colunas (3). Isso significa que as colunas são linearmente dependentes.
Passo 6
Como o posto de é menor que 3, o núcleo de tem dimensão maior que zero. Portanto, existem vetores não nulos em que são mapeados para o vetor zero em . Isso mostra que não é injetora.
Passo 7
Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Para isso, precisamos ver se o corpo de chegada é todo coberto pela imagem de . Isso acontece se o posto de for igual ao número de linhas, que no caso é 2.
Passo 8
Como já vimos que o posto de é 2, que é igual ao número de linhas de , a imagem de é todo o . Portanto, é sobrejetora.
Resposta
A transformação não é injetora, mas é sobrejetora.