Seja, como na Questão 24, o conjunto dos polinômios a uma variável e coeficientes reais. Seja o conjunto dos de grau menor ou igual a 3 e que tem o zero como raiz.
(1) Calcule uma base ordenada para contendo e não contendo .
(2) Calcule uma base ordenada para contendo e não contendo .
(3) Calcule as coordenadas de na base .
(4) Calcule as coordenadas de na base .
(5) Calcule a matriz mudança de base da base para a base .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que trabalhar com polinômios de uma variável com coeficientes reais, especificamente aqueles de grau igual ou menor que 3 e que têm o zero como raiz. Ou seja, estamos lidando com o conjunto . Precisamos calcular bases ordenadas para esse conjunto que incluam um polinômio específico e excluam outro, além de encontrar coordenadas e matrizes de mudança de base. Para resolver tudo isso, vamos precisar entender conceitos de bases vetoriais, coordenas em diferentes bases e matrizes de mudança de base.
Passo 2
Vamos começar com a primeira parte do exercício:
(1) Calcule uma base ordenada para contendo e não contendo .
Primeiro, precisamos entender que é o conjunto , ou seja, os polinômios de grau que têm zero como raiz. Como zero é raiz, todos esses polinômios podem ser escritos como , onde é um polinômio de grau .
Queremos formar uma base que inclua . Para isso, precisamos de outros polinômios que, juntamente com , formem um conjunto linearmente independente que gera todo o espaço .
Escolhemos incluir e porque já temos , que é um polinômio de grau 2, e precisamos de um terceiro polinômio de grau diferente para completar a base.
Assim, uma possível base ordenada é:
Passo 3
Agora vamos para a segunda parte:
(2) Calcule uma base ordenada para contendo e não contendo .
Semelhante ao passo anterior, queremos formar uma base que inclui . Precisamos escolher outros polinômios que, junto com , formem um conjunto linearmente independente.
Optamos por incluir novamente e , pois eles já nos dão variedade de graus para garantir a independência linear.
Portanto, uma possível base ordenada é:
Passo 4
Seguimos para a terceira parte:
(3) Calcule as coordenadas de na base .
Primeiro, precisamos expressar como combinação linear dos elementos de .
Vamos supor:
Igualando os coeficientes:
Comparando os coeficientes:
Resolvendo:
De , temos .
Substituindo na primeira equação: .
Já temos .
Portanto, as coordenadas de na base são:
Passo 5
Agora, a quarta parte:
(4) Calcule as coordenadas de s(x) = a cdot x + b cdot (-x + 3x^2 - 2x^3) + c cdot x^3 na base x - x^3 = a x + b(-x + 3x^2 - 2x^3) + c x^3 .
Vamos expressar x - x^3 = (a - b) x + 3b x^2 + (-2b + c) x^3 como combinação linear dos elementos de a - b = 1 3b = 0 -2b + c = -1 .
Assumimos:
[s(x)]B2 = 1 0 -1
Igualando os coeficientes:
Comparando os coeficientes:
Resolvendo:
De , temos .
Substituindo na primeira equação: .
Substituindo na terceira equação: .
Portanto, as coordenadas de na base são:
Passo 6
Finalmente, a quinta parte:
(5) Calcule a matriz mudança de base da base B1 = x, , 2x - 3x^2, , x^3 para a base x = 1 cdot x + 0 cdot (-x + 3x^2 - 2x^3) + 0 cdot x^3 .
A matriz de mudança de base de 1 0 0 para 2x - 3x^2 = a cdot x + b cdot (-x + 3x^2 - 2x^3) + c cdot x^3 , denotada por a - b = 2 3b = -3 -2b + c = 0 , é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores de 1 -1 -2 na base x^3 = 0 cdot x + 0 cdot (-x + 3x^2 - 2x^3) + 1 cdot x^3 .
Primeiro, identificamos os vetores de 0 0 1 :
MB2 B1 = 1 & 1 & 0 0 & -1 & 0 0 & -2 & 1
Vamos encontrar as coordenadas de cada um desses vetores na base .
Coordenadas de em :
Portanto,
Coordenadas de em :
Queremos encontrar tal que:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo:
De , temos .
Substituindo na primeira equação: .
Substituindo na terceira equação: .
Portanto,
Coordenadas de em :
Portanto,
Agora, organizamos essas coordenadas como colunas da matriz de mudança de base:
Resposta
Base B1 = x, , 2x - 3x^2, , x^3 :
B2 = x, , -x + 3x^2 - 2x^3, , x^3
Base [s(x)]B1 = 1 0 -1 :
[s(x)]B2 = 1 0 -1
Coordenadas de MB2 B1 = 1 & 1 & 0 0 & -1 & 0 0 & -2 & 1 na base :