Determine a unidade das constantes alpha e theta presentes em cada uma das seguintes equações diferenciais.
alpha * u_x + theta * u_y = 0 onde u(°C) e x e y[m]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar as unidades das constantes alpha e theta na equação diferencial . Aqui, u está medido em graus Celsius ( C) e as variáveis x e y estão em metros (m). Para resolver isso, vamos precisar entender como as unidades se relacionam nessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada termo da equação. u_x representa a derivada parcial de u em relação a x, ou seja, . Como u está em C e x em metros, a unidade de u_x é:
Da mesma forma, uy é a derivada parcial de u em relação a y, com unidade também:

Passo 3

Agora, vamos olhar para a equação . Para que essa equação faça sentido, todas as parcelas somadas devem ter a mesma unidade. Já vimos que u_x e uy têm unidades de C/m, então alpha e theta devem ajustar essas unidades de forma que todo o lado esquerdo da equação tenha uma unidade consistente com o zero do lado direito.

Passo 4

O zero na equação pode ser considerado como tendo qualquer unidade, mas para que a equação seja dimensionadamente correta, cada termo e deve ter a mesma unidade. Como u_x e uy são ambos C/m, alpha e theta devem ser sem dimensão, ou seja, serem números puros sem unidades.

Resposta

As constantes alpha e theta são adimensionais, ou seja, não possuem unidade.

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