Determine, usando convolução, as funções R -> C cuja transformada de Fourier é
f(w) = 1/((1 - i w)(2 + i w))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma função f(w) = 1/((1 - i w)(2 + i w)) que transforma numa dada transformada de Fourier:
Então, vamos usar o conceito de convolução na Transformada de Fourier para resolver isso. Precisamos entender como a convolução funciona e como aplicar isso para encontrar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Fourier de uma convolução de duas funções é igual ao produto das Transformadas de Fourier dessas funções. Ou seja, se , então:
Comparando com o que temos, podemos identificar:

Passo 3

Agora, precisamos achar as funções e cujas Transformadas de Fourier são e , respectivamente. Para isso, vamos usar a inversa da Transformada de Fourier.
Sabemos que:
onde é a função degrau de Heaviside.
Aplicando isso:
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Agora que temos e , podemos encontrar usando a convolução:
Como as funções são multiplicadas por , que é zero para , a integral simplifica para:
Resolvendo a integral:
Portanto:

Resposta

A função que satisfaz a condição dada é:

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