Determine, usando convolução, as funções
cuja transformada de Fourier é
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma função
que transforma numa dada transformada de Fourier:
Então, vamos usar o conceito de convolução na Transformada de Fourier para resolver isso. Precisamos entender como a convolução funciona e como aplicar isso para encontrar a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Fourier de uma convolução de duas funções é igual ao produto das Transformadas de Fourier dessas funções. Ou seja, se
, então:
Comparando com o que temos, podemos identificar:
Passo 3
Agora, precisamos achar as funções
e
cujas Transformadas de Fourier são
e
, respectivamente. Para isso, vamos usar a inversa da Transformada de Fourier.
Sabemos que:
onde
é a função degrau de Heaviside.
Aplicando isso:
- Para
: - Para
:
Passo 4
Agora que temos
e
, podemos encontrar
usando a convolução:
Como as funções são multiplicadas por
, que é zero para
, a integral simplifica para:
Resolvendo a integral:
Portanto:
Resposta
A função que satisfaz a condição dada é: