Suponha que você comece no ponto (0,0,3) e se mova 5 pi unidades de comprimento ao longo da curva r(t) = 3 sen(t) i + 4t j + 3 cos(t) k na direção positiva. Em que ponto da curva você está agora?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por . Você começa no ponto e se move unidades de comprimento ao longo dessa curva na direção positiva. Nosso objetivo é encontrar em que ponto da curva você vai estar após esse movimento.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de comprimento de arco de uma curva parametrizada. Isso envolve calcular a integral do módulo da derivada da função posição . Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o ponto inicial corresponde a algum valor de na nossa parametrização. Substituindo na função :
Então, começamos em .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a , que é a velocidade vetorial :

Passo 4

O próximo passo é calcular o módulo dessa velocidade vetorial, que nos dá a velocidade escalar:
Simplificando dentro da raiz:
Então:

Passo 5

Perfeito! O módulo da velocidade é constante e igual a 5. Isso significa que o comprimento de arco em função de é:

Passo 6

Queremos mover unidades de comprimento. Então, igualamos a :

Passo 7

Agora que sabemos que , vamos substituir esse valor na função posição para encontrar o ponto final:
Sabemos que e , então:

Resposta

Após mover unidades de comprimento na curva, você estará no ponto .

Exercícios relacionados