Use transformada de Fourier para resolver as seguintes EDPs com valores de contorno.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial parcial usando a transformada de Fourier. A equação que temos é uma versão da equação do calor, que estuda como o calor se propaga ao longo do tempo. Precisamos usar a transformada de Fourier para transformar a equação no domínio do espaço para o domínio da frequência, resolver lá e depois voltar para o domínio original. Vamos precisar entender a transformada de Fourier e como aplicá-la em funções e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Fourier na variável
em ambos os lados da equação. A transformada de Fourier de
será
, onde
é a variável de frequência. Aplicando a transformada na equação
, temos:
Aqui, usamos a propriedade da transformada de Fourier que transforma a segunda derivada espacial em
vezes a transformada da função.
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial ordinária em
:
Essa é uma equação diferencial simples que podemos resolver separando as variáveis. A solução geral será da forma:
Passo 4
Precisamos agora encontrar
, que é a transformada de Fourier da condição inicial
. Sabemos que:
Então,
Passo 5
Substituindo
na solução geral, temos:
Passo 6
Agora, precisamos aplicar a transformada inversa de Fourier para encontrar
. A transformada inversa de Fourier de
será:
Essa integral pode ser complexa, mas sabemos que a solução da equação do calor no espaço real com condição inicial
é conhecida e dada por: