Use transformada de Fourier para resolver as seguintes EDPs com valores de contorno.
lk partial^2 upartial x^2=partial upartial t,-infty0 u(x, 0)=e^-|x|

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial parcial usando a transformada de Fourier. A equação que temos é uma versão da equação do calor, que estuda como o calor se propaga ao longo do tempo. Precisamos usar a transformada de Fourier para transformar a equação no domínio do espaço para o domínio da frequência, resolver lá e depois voltar para o domínio original. Vamos precisar entender a transformada de Fourier e como aplicá-la em funções e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Fourier na variável k (-k^2) u(k, t) = partial upartial t(k, t) em ambos os lados da equação. A transformada de Fourier de será , onde é a variável de frequência. Aplicando a transformada na equação , temos:
Aqui, usamos a propriedade da transformada de Fourier que transforma a segunda derivada espacial em vezes a transformada da função.

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial ordinária em partial upartial t = -k^3 u(k, t) :
u(k, t) = u(k, 0) e^-k^3 t
Essa é uma equação diferencial simples que podemos resolver separando as variáveis. A solução geral será da forma:

Passo 4

Precisamos agora encontrar Fe^-|x| = 21 + k^2 , que é a transformada de Fourier da condição inicial u(k, 0) = 21 + k^2 . Sabemos que:
Então,

Passo 5

Substituindo u(k, t) = 21 + k^2 e^-k^3 t na solução geral, temos:

Passo 6

Agora, precisamos aplicar a transformada inversa de Fourier para encontrar u(x, t) = F^-12 e^-k^3 t1 + k^2 . A transformada inversa de Fourier de u(x, t) = e^-kt e^-|x| será:
Essa integral pode ser complexa, mas sabemos que a solução da equação do calor no espaço real com condição inicial é conhecida e dada por:

Resposta

u(x, t) = e^-kt e^-|x|

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