Sejam I1 ⊃ I2 ⊃ ... ⊃ In ⊃ ... intervalos limitados dois a dois distintos, cuja interseção I = interseccao(I_n) para n = 1 até infinito não é vazia. Prove que I é um intervalo, o qual nunca é aberto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma sequência de intervalos que vão se encaixando cada vez mais dentro do anterior, ou seja, cada intervalo está dentro do que veio antes. A gente precisa provar que a interseção de todos esses intervalos forma também um intervalo e que esse intervalo nunca é aberto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise matemática sobre propriedades de intervalos e interseções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a interseção desses intervalos. A interseção, representada por , é o conjunto de pontos que estão em todos os intervalos da sequência. Como cada intervalo está contido no anterior ( ), os extremos dos intervalos vão se aproximando de limites.

Passo 3

Sabemos que cada é um intervalo limitado, ou seja, tem um início e um fim definidos. Vamos chamar o início de cada intervalo de e o fim de . Então, temos:
Como os intervalos estão se encaixando, temos que:

Passo 4

Vamos considerar os limites dos extremos quando tende ao infinito. Define-se:
Como a sequência é crescente e limitada acima por , ela converge para algum . Já a sequência é decrescente e limitada abaixo por , então também converge para algum .

Passo 5

Agora, precisamos mostrar que . Ou seja, todo ponto entre e está na interseção de todos os . Pegue qualquer ponto tal que . Como converge para e para , para todo suficientemente grande, teremos:
Portanto, está em todos os intervalos , ou seja, .

Passo 6

Finalmente, vamos mostrar que nunca é um intervalo aberto. Um intervalo aberto não inclui seus pontos extremos, ou seja, . Mas como inclui e (pela definição dos limites), ele não pode ser aberto. Logo, é sempre um intervalo fechado ou semiaberto, mas nunca totalmente aberto.

Resposta

A interseção é um intervalo fechado e nunca é um intervalo aberto.

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