Sejam
intervalos limitados dois a dois distintos, cuja interseção
não é vazia. Prove que
é um intervalo, o qual nunca é aberto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma sequência de intervalos que vão se encaixando cada vez mais dentro do anterior, ou seja, cada intervalo está dentro do que veio antes. A gente precisa provar que a interseção de todos esses intervalos forma também um intervalo e que esse intervalo nunca é aberto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise matemática sobre propriedades de intervalos e interseções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a interseção desses intervalos. A interseção, representada por
, é o conjunto de pontos que estão em todos os intervalos da sequência. Como cada intervalo está contido no anterior (
), os extremos dos intervalos vão se aproximando de limites.
Passo 3
Sabemos que cada
é um intervalo limitado, ou seja, tem um início e um fim definidos. Vamos chamar o início de cada intervalo de
e o fim de
. Então, temos:
Como os intervalos estão se encaixando, temos que:
Passo 4
Vamos considerar os limites dos extremos quando
tende ao infinito. Define-se:
Como a sequência
é crescente e limitada acima por
, ela converge para algum
. Já a sequência
é decrescente e limitada abaixo por
, então também converge para algum
.
Passo 5
Agora, precisamos mostrar que
. Ou seja, todo ponto entre
e
está na interseção de todos os
. Pegue qualquer ponto
tal que
. Como
converge para
e
para
, para todo
suficientemente grande, teremos:
Portanto,
está em todos os intervalos
, ou seja,
.
Passo 6
Finalmente, vamos mostrar que
nunca é um intervalo aberto. Um intervalo aberto não inclui seus pontos extremos, ou seja,
. Mas como
inclui
e
(pela definição dos limites), ele não pode ser aberto. Logo,
é sempre um intervalo fechado ou semiaberto, mas nunca totalmente aberto.
Resposta
A interseção
é um intervalo fechado
e nunca é um intervalo aberto.