Um fabricante determinou que o custo de fazer
unidades de uma mercadoria é
e a função demanda é
. Estime o nível de produção que minimize o custo médio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre o custo de fabricação de uma mercadoria e a função demanda correspondente. O que precisamos encontrar é o nível de produção que minimiza o custo médio. Para isso, vamos usar conceitos de funções de custo e otimização.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o custo médio. O custo médio é simplesmente o custo total dividido pelo número de unidades produzidas. Matematicamente, fica assim:
Onde
é a função de custo e
é a quantidade produzida.
Passo 3
Nossa função de custo é dada por:
Então, o custo médio fica:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão dividindo cada termo por
:
Agora, queremos encontrar o valor de
que faz o
ser o menor possível.
Passo 5
Para minimizar o custo médio, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero. Isso porque no ponto mínimo, a inclinação da função é zero.
Passo 6
Calculando a derivada de
:
Agora, igualamos a derivada a zero:
Passo 7
Vamos resolver essa equação para
. Primeiro, multiplicamos todos os termos por
para eliminar a fração:
Reorganizando:
Passo 8
Para simplificar, podemos multiplicar toda a equação por 1000:
Agora, temos uma equação cúbica que podemos resolver numericamente.
Passo 9
Usando métodos numéricos ou calculadora, encontramos que a solução real positiva para
é aproximadamente:
Resposta
O nível de produção que minimiza o custo médio é de aproximadamente 60 unidades.
Exercícios relacionados
Para todo
, prove que vale a reunião disjunta
, onde
é formado pelos pontos
tais que toda vizinhança de
contém pontos de
e pontos de
. O conjunto
chama-se a fronteira de
. Prove que
é aberto se, e somente se
.
Determine, usando diferencial, valores aproximados para:
Sejam
intervalos limitados dois a dois distintos, cuja interseção
não é vazia. Prove que
é um intervalo, o qual nunca é aberto.
Determine, usando diferencial, valores aproximados para: