Um fabricante determinou que o custo de fazer x unidades de uma mercadoria é C(x) = 1800 + 25 x 0,2 x^2 + 0,001 x 3 e a função demanda é p(x) = 48,2 - 0,03 x. Estime o nível de produção que minimize o custo médio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre o custo de fabricação de uma mercadoria e a função demanda correspondente. O que precisamos encontrar é o nível de produção que minimiza o custo médio. Para isso, vamos usar conceitos de funções de custo e otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o custo médio. O custo médio é simplesmente o custo total dividido pelo número de unidades produzidas. Matematicamente, fica assim:
Onde é a função de custo e é a quantidade produzida.

Passo 3

Nossa função de custo é dada por:
Então, o custo médio fica:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão dividindo cada termo por :
Agora, queremos encontrar o valor de que faz o ser o menor possível.

Passo 5

Para minimizar o custo médio, vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero. Isso porque no ponto mínimo, a inclinação da função é zero.

Passo 6

Calculando a derivada de :
Agora, igualamos a derivada a zero:

Passo 7

Vamos resolver essa equação para . Primeiro, multiplicamos todos os termos por para eliminar a fração:
Reorganizando:

Passo 8

Para simplificar, podemos multiplicar toda a equação por 1000:
Agora, temos uma equação cúbica que podemos resolver numericamente.

Passo 9

Usando métodos numéricos ou calculadora, encontramos que a solução real positiva para é aproximadamente:

Resposta

O nível de produção que minimiza o custo médio é de aproximadamente 60 unidades.

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