Determine, usando diferencial, valores aproximados para: raiz(63, 3)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar, usando diferenciais, um valor aproximado para raiz(63, 3). Esse problema está relacionado ao cálculo diferencial, especificamente à aproximação de valores de funções utilizando métodos lineares. Para resolver, vamos precisar entender o conceito de derivadas e como elas podem nos ajudar a estimar valores próximos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que representa a raiz cúbica que queremos calcular. Seja . Nosso objetivo é encontrar , ou seja, raiz(63, 3).

Passo 3

Para usar diferenciais, escolhemos um ponto próximo a 63 onde o cálculo da raiz cúbica seja fácil. Sabemos que , porque . Então, vamos usar como nosso ponto de referência.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada da função . A derivada de x^n é . Aplicando isso:

Passo 5

Vamos avaliar a derivada no ponto :
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 6

Usamos a fórmula da aproximação linear (diferencial):
Aqui, e :
Substituindo os valores que já calculamos:
Calculando:

Resposta

O valor aproximado de raiz(63, 3) usando diferenciais é .

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