Determine, usando diferencial, valores aproximados para: raiz(63, 3)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar, usando diferenciais, um valor aproximado para raiz(63, 3). Esse problema está relacionado ao cálculo diferencial, especificamente à aproximação de valores de funções utilizando métodos lineares. Para resolver, vamos precisar entender o conceito de derivadas e como elas podem nos ajudar a estimar valores próximos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que representa a raiz cúbica que queremos calcular. Seja . Nosso objetivo é encontrar , ou seja, raiz(63, 3).

Passo 3

Para usar diferenciais, escolhemos um ponto próximo a 63 onde o cálculo da raiz cúbica seja fácil. Sabemos que , porque . Então, vamos usar como nosso ponto de referência.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada da função . A derivada de x^n é . Aplicando isso:

Passo 5

Vamos avaliar a derivada no ponto :
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 6

Usamos a fórmula da aproximação linear (diferencial):
Aqui, e :
Substituindo os valores que já calculamos:
Calculando:

Resposta

O valor aproximado de raiz(63, 3) usando diferenciais é .

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Assinale a alternativa que contém una função estritamente crescente.
(a) f: R -> R, dada por f(x) = { 2x + 1, se x <= -1; -1, se -1 < x <= 1; 4x - 5, se x > 1 };
(b) f: R -> R, dada por f(x) = |x - 5|;
© f: R -> R, dada por f(x) = 4^x;
(d) f: (0,+infinito) -> R, dada por f(x) = log(1/4)(x);
(e) f: R -> R, dada por f(x) = (1/3)^x.
Para todo X ⊆ R, prove que vale a reunião disjunta R = int(X) U int(R -) X ∪ F, onde F é formado pelos pontos x em R tais que toda vizinhança de x contém pontos de X e pontos de R - X. O conjunto F = fr X chama-se a fronteira de X. Prove que A ⊆ R é aberto se, e somente se A ∩ fr A = ∅.
Um fabricante determinou que o custo de fazer x unidades de uma mercadoria é C(x) = 1800 + 25 x 0,2 x^2 + 0,001 x 3 e a função demanda é p(x) = 48,2 - 0,03 x. Estime o nível de produção que minimize o custo médio.