Determine, usando diferencial, valores aproximados para: raiz(98)

Passo 1

Então, a gente tem o exercício de encontrar um valor aproximado para raiz(98) usando diferenciais. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente de diferenciais e aproximações. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar a diferencial de uma função para estimar valores próximos.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma função que seja fácil de trabalhar e que esteja próxima de 98 quando a gente calcula o valor que queremos. Vamos usar a função f(x) = raiz(x). Sabemos que calcular a derivada dessa função vai nos ajudar a usar a diferencial para a aproximação.

Passo 3

Calculamos a derivada da função f(x) = raiz(x). A derivada de raiz(x) é:

Passo 4

Agora, escolhemos um ponto próximo a 98 que seja fácil de calcular a raiz quadrada. Vamos escolher , porque é fácil de lembrar.

Passo 5

Calculamos a diferencial usando a derivada que encontramos e a diferença entre 98 e 100. A diferença Delta x é:
Então,

Passo 6

Finalmente, usamos a diferencial para aproximar raiz(98). Sabemos que:
Substituindo os valores:

Resposta

Aproximadamente, .

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Assinale a alternativa que contém una função estritamente crescente.
(a) f: R -> R, dada por f(x) = { 2x + 1, se x <= -1; -1, se -1 < x <= 1; 4x - 5, se x > 1 };
(b) f: R -> R, dada por f(x) = |x - 5|;
© f: R -> R, dada por f(x) = 4^x;
(d) f: (0,+infinito) -> R, dada por f(x) = log(1/4)(x);
(e) f: R -> R, dada por f(x) = (1/3)^x.
Determine, usando diferencial, valores aproximados para: raiz(65, 3)
Determine, usando diferencial, valores aproximados para: raiz(63, 3)
Para todo X ⊆ R, prove que vale a reunião disjunta R = int(X) U int(R -) X ∪ F, onde F é formado pelos pontos x em R tais que toda vizinhança de x contém pontos de X e pontos de R - X. O conjunto F = fr X chama-se a fronteira de X. Prove que A ⊆ R é aberto se, e somente se A ∩ fr A = ∅.