Para todo
, prove que vale a reunião disjunta
, onde
é formado pelos pontos
tais que toda vizinhança de
contém pontos de
e pontos de
. O conjunto
chama-se a fronteira de
. Prove que
é aberto se, e somente se
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de análise matemática sobre conjuntos abertos e suas fronteiras na reta real
. Precisamos provar duas coisas:
- Que todo número real está ou no interior de
, ou no interior do complemento de , ou na fronteira de . - Que um conjunto
é aberto se, e somente se, ele não tem pontos na sua própria fronteira.
Para isso, vamos usar conceitos de topologia como interior, complemento e fronteira de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o interior de um conjunto. O interior de
, denotado por
, é o conjunto de todos os pontos de
que possuem uma vizinhança completamente contida em
. Basicamente, são os pontos “no meio” de
, sem bordas.
Passo 3
O complemento de
em
, denotado por
, é o conjunto de todos os números reais que não estão em
. O interior do complemento,
, segue a mesma ideia do interior de
, mas aplicado ao conjunto dos pontos fora de
.
Passo 4
A fronteira de
, denotada por
, é o conjunto de pontos onde qualquer vizinhança contém pontos de
e pontos de
. Esses são os pontos “na borda” de
.
Passo 5
Agora, queremos mostrar que todo ponto real está em um desses três conjuntos: interior de
, interior do complemento de
ou na fronteira de
. Isto é:
Além disso, esses conjuntos são disjuntos, ou seja, não se sobrepõem.
Passo 6
Vamos provar que a união é toda a reta real. Seja
. Temos três possibilidades:
-
: está no interior de . -
: está no interior do complemento de . - Caso contrário, toda vizinhança de
contém pontos de e de , então .
Passo 7
Agora, precisamos mostrar que esses conjuntos são disjuntos. Suponha que um ponto
pertença a dois deles:
- Se
e , isso é impossível porque não pode estar simultaneamente dentro e fora de . - Se
e , também é impossível porque pontos interiores não estão na fronteira. - O mesmo vale para
e .
Passo 8
Portanto, concluímos que:
sendo uma união disjunta.
Passo 9
Agora, vamos provar que um conjunto
é aberto se, e somente se,
não compartilha nenhum ponto com a sua fronteira, ou seja,
.
Passo 10
Se
é aberto, então
:
Se
é aberto, por definição, todo ponto de
está no seu interior, ou seja, não está na fronteira. Portanto, não há pontos comuns entre
e sua fronteira.
Se
, então
é aberto:
Se nenhum ponto de
está na sua fronteira, isso significa que todo ponto de
tem uma vizinhança completamente contida em
, caracterizando-o como aberto.
Resposta
Portanto, mostramos que
é a união disjunta de
,
e
, e que um conjunto
é aberto se, e somente se, não possui pontos na sua própria fronteira.
E
é aberto se
.
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