Para todo X ⊆ R, prove que vale a reunião disjunta R = int(X) U int(R -) X ∪ F, onde F é formado pelos pontos x em R tais que toda vizinhança de x contém pontos de X e pontos de R - X. O conjunto F = fr X chama-se a fronteira de X. Prove que A ⊆ R é aberto se, e somente se A ∩ fr A = ∅.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de análise matemática sobre conjuntos abertos e suas fronteiras na reta real R. Precisamos provar duas coisas:
  1. Que todo número real está ou no interior de X, ou no interior do complemento de X, ou na fronteira de X.
  2. Que um conjunto A é aberto se, e somente se, ele não tem pontos na sua própria fronteira.
Para isso, vamos usar conceitos de topologia como interior, complemento e fronteira de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o interior de um conjunto. O interior de X, denotado por , é o conjunto de todos os pontos de X que possuem uma vizinhança completamente contida em X. Basicamente, são os pontos “no meio” de X, sem bordas.

Passo 3

O complemento de X em R, denotado por , é o conjunto de todos os números reais que não estão em X. O interior do complemento, , segue a mesma ideia do interior de X, mas aplicado ao conjunto dos pontos fora de X.

Passo 4

A fronteira de X, denotada por , é o conjunto de pontos onde qualquer vizinhança contém pontos de X e pontos de . Esses são os pontos “na borda” de X.

Passo 5

Agora, queremos mostrar que todo ponto real está em um desses três conjuntos: interior de X, interior do complemento de X ou na fronteira de X. Isto é:
Além disso, esses conjuntos são disjuntos, ou seja, não se sobrepõem.

Passo 6

Vamos provar que a união é toda a reta real. Seja x em R. Temos três possibilidades:
  1. : está no interior de X.
  2. : está no interior do complemento de X.
  3. Caso contrário, toda vizinhança de x contém pontos de X e de , então .

Passo 7

Agora, precisamos mostrar que esses conjuntos são disjuntos. Suponha que um ponto x pertença a dois deles:
  • Se e , isso é impossível porque x não pode estar simultaneamente dentro e fora de X.
  • Se e , também é impossível porque pontos interiores não estão na fronteira.
  • O mesmo vale para e .

Passo 8

Portanto, concluímos que:
sendo uma união disjunta.

Passo 9

Agora, vamos provar que um conjunto A ⊆ R é aberto se, e somente se, A não compartilha nenhum ponto com a sua fronteira, ou seja, .

Passo 10

Se A é aberto, então :
Se A é aberto, por definição, todo ponto de A está no seu interior, ou seja, não está na fronteira. Portanto, não há pontos comuns entre A e sua fronteira.
Se , então A é aberto:
Se nenhum ponto de A está na sua fronteira, isso significa que todo ponto de A tem uma vizinhança completamente contida em A, caracterizando-o como aberto.

Resposta

Portanto, mostramos que R é a união disjunta de , e , e que um conjunto A é aberto se, e somente se, não possui pontos na sua própria fronteira.
E A é aberto se .

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