Determine, usando diferencial, valores aproximados para: raiz(65, 3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar um valor aproximado para usando diferenciais. Isso está ligado ao cálculo diferencial, onde a gente usa a derivada para fazer aproximações. Vamos precisar conhecer a função que representa a raiz cúbica e escolher um ponto próximo a 65 onde a conta fique mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que vamos trabalhar:
Queremos encontrar , ou seja, a raiz cúbica de 65.

Passo 3

Escolhemos um ponto próximo a 65 onde a função é fácil de calcular. Sabemos que:
Então, . Esse será nosso ponto de aproximação.

Passo 4

Agora, precisamos da derivada da função para usar o diferencial. A derivada de é:
No ponto :
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 5

A variação é a diferença entre 65 e 64:

Passo 6

Usamos a fórmula do diferencial para aproximar :
Então, a aproximação para é:

Resposta

Portanto, usando diferenciais, uma aproximação para é:

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