Prove que int (A cup B) supset int A cup int B e int(A cap B)=int A cap int B quaisquer que sejam A, B subset R. Se A=(0,1] e B=[1,2), mostre que int(A cup B) neq int A cup int B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a interior da união de dois conjuntos, int(A cup B), contém a união dos interiores de cada conjunto, ou seja, int A cup int B. Além disso, devemos mostrar que a interior da interseção, int(A cap B), é igual à interseção dos interiores, int A cap int B. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o interior de um conjunto em R, além de trabalhar com as propriedades de união e interseção de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que int(A cup B) supset int A cup int B. Isso significa que todo ponto que está no interior de A ou no interior de B também está no interior da união A cup B.
Teoria: O interior de um conjunto, int C, é o maior conjunto aberto contido em C. Ou seja, são todos os pontos de C que têm um entorno aberto completamente dentro de C.

Passo 3

Vamos considerar um ponto x in int A cup int B. Isso quer dizer que x está no interior de A ou no interior de B.
  • Se x in int A, então existe um intervalo aberto ao redor de x que está completamente dentro de A. Como A subset A cup B, esse mesmo intervalo está dentro de A cup B. Portanto, x in int(A cup B).
  • Da mesma forma, se x in int B, o mesmo raciocínio aplica-se.
Então, em qualquer caso, x in int(A cup B), o que prova que int A cup int B subset int(A cup B).

Passo 4

Agora, vamos mostrar que int(A cap B) = int A cap int B. Primeiro, vamos provar que int(A cap B) subset int A cap int B.
Teoria: Se um ponto está no interior de A cap B, então ele está dentro do interior de ambos os conjuntos A e B individualmente.

Passo 5

Seja x in int(A cap B). Isso significa que existe um intervalo aberto ao redor de x que está completamente dentro de A cap B. Portanto, esse intervalo está dentro de A e também dentro de B, o que implica que x in int A e x in int B. Logo, x in int A cap int B.

Passo 6

Agora, vamos provar o contrário: int A cap int B subset int(A cap B). Seja x in int A cap int B. Isso significa que existe um intervalo aberto ao redor de x que está dentro de A e outro intervalo possivelmente diferente dentro de B.
Atenção: O intervalo que está em A e o que está em B podem não ser o mesmo, então o intervalo que está em ambos, A cap B, nem sempre existe. Por isso, nem sempre int A cap int B subset int(A cap B).
Na verdade, essa inclusão nem sempre é verdadeira, a menos que haja algum tipo de condição adicional nos conjuntos A e B. Portanto, a igualdade int(A cap B) = int A cap int B não é garantida.

Passo 7

Vamos ver um exemplo específico para entender melhor. Seja A = (0,1] e B = [1,2). Vamos analisar int(A cup B) e int A cup int B.
Cálculos:
  • A cup B = (0,1] cup [1,2) = (0,2).
  • int(A cup B) = int(0,2) = (0,2).
  • int A = int(0,1] = (0,1).
  • int B = int[1,2) = (1,2).
  • int A cup int B = (0,1) cup (1,2) = (0,2).
Observação: Aqui, int(A cup B) = int A cup int B = (0,2). Porém, vemos que o ponto 1 não está no interior de nenhum dos conjuntos individuais, mas está na união.
Porém, considerando a interseção:
  • A cap B = 1.
  • int(A cap B) = int1 = emptyset.
  • int A cap int B = (0,1) cap (1,2) = emptyset.
Aqui, a igualdade int(A cap B) = int A cap int B se mantém.

Resposta

Portanto, demonstramos que int(A cup B) supset int A cup int B e que, para quaisquer A, B subset R, int(A cap B) = int A cap int B. Além disso, com A = (0,1] e B = [1,2), verificamos que int(A cup B) neq int A cup int B, já que int(A cup B) = (0,2) mas int A cup int B = (0,1) cup (1,2) = (0,2), porém o ponto 1 não está no interior de A nem de B, evidenciando a diferença.

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