Prove que int
quaisquer que sejam
. Se
e
, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a interior da união de dois conjuntos,
, contém a união dos interiores de cada conjunto, ou seja,
. Além disso, devemos mostrar que a interior da interseção,
, é igual à interseção dos interiores,
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o interior de um conjunto em
, além de trabalhar com as propriedades de união e interseção de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que
. Isso significa que todo ponto que está no interior de
ou no interior de
também está no interior da união
.
Teoria: O interior de um conjunto,
, é o maior conjunto aberto contido em
. Ou seja, são todos os pontos de
que têm um entorno aberto completamente dentro de
.
Passo 3
Vamos considerar um ponto
. Isso quer dizer que
está no interior de
ou no interior de
.
-
Se
, então existe um intervalo aberto ao redor de que está completamente dentro de . Como , esse mesmo intervalo está dentro de . Portanto, . -
Da mesma forma, se
, o mesmo raciocínio aplica-se.
Então, em qualquer caso,
, o que prova que
.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que
. Primeiro, vamos provar que
.
Teoria: Se um ponto está no interior de
, então ele está dentro do interior de ambos os conjuntos
e
individualmente.
Passo 5
Seja
. Isso significa que existe um intervalo aberto ao redor de
que está completamente dentro de
. Portanto, esse intervalo está dentro de
e também dentro de
, o que implica que
e
. Logo,
.
Passo 6
Agora, vamos provar o contrário:
. Seja
. Isso significa que existe um intervalo aberto ao redor de
que está dentro de
e outro intervalo possivelmente diferente dentro de
.
Atenção: O intervalo que está em
e o que está em
podem não ser o mesmo, então o intervalo que está em ambos,
, nem sempre existe. Por isso, nem sempre
.
Na verdade, essa inclusão nem sempre é verdadeira, a menos que haja algum tipo de condição adicional nos conjuntos
e
. Portanto, a igualdade
não é garantida.
Passo 7
Vamos ver um exemplo específico para entender melhor. Seja
e
. Vamos analisar
e
.
Cálculos:
-
. -
. -
. -
. -
.
Observação: Aqui,
. Porém, vemos que o ponto
não está no interior de nenhum dos conjuntos individuais, mas está na união.
Porém, considerando a interseção:
-
. -
. -
.
Aqui, a igualdade
se mantém.
Resposta
Portanto, demonstramos que
e que, para quaisquer
,
. Além disso, com
e
, verificamos que
, já que
mas
, porém o ponto
não está no interior de
nem de
, evidenciando a diferença.