Determine v=(x, y, z) tal que
& (x, y, z) times(1,2,-1)=(1,1,3) & (x, y, z) cdot(3,1,1)=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar o vetor v = (x, y, z) que satisfaz duas condições:
  1. O produto vetorial de v com (1, 2, -1) deve ser igual a (1, 1, 3).
  2. O produto escalar de v com (3, 1, 1) deve ser igual a 3.
Para isso, vamos usar as propriedades de produtos vetoriais e escalares, além de resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial v times (1, 2, -1). O produto vetorial de dois vetores (a, b, c) e (d, e, f) é dado por:
(a, b, c) times (d, e, f) = (bf - ce, cd - af, ae - bd)
Aplicando isso ao nosso caso:
(x, y, z) times (1, 2, -1) = (y cdot (-1) - z cdot 2, z cdot 1 - x cdot (-1), x cdot 2 - y cdot 1)
Simplificando:
(-y - 2z, z + x, 2x - y) = (1, 1, 3)

Passo 3

Agora, igualamos cada componente dos vetores:
  1. -y - 2z = 1
  2. z + x = 1
  3. 2x - y = 3
Temos um sistema de três equações, mas vamos usar apenas as duas primeiras para encontrar duas variáveis em termos da terceira.

Passo 4

Da segunda equação, podemos expressar x em termos de z:
x = 1 - z

Passo 5

Substituímos x = 1 - z na terceira equação:
2(1 - z) - y = 3 2 - 2z - y = 3 -2z - y = 1 y = -2z - 1

Passo 6

Agora, substituímos y = -2z - 1 na primeira equação:
-(-2z - 1) - 2z = 1 2z + 1 - 2z = 1 1 = 1
Isso confirma que nossas expressões para x e y estão corretas.

Passo 7

Agora, usamos a segunda condição do produto escalar:
(x, y, z) cdot (3, 1, 1) = 3 3x + y + z = 3
Substituímos x = 1 - z e y = -2z - 1:
3(1 - z) + (-2z - 1) + z = 3 3 - 3z - 2z - 1 + z = 3 3 - 4z - 1 = 3 2 - 4z = 3 -4z = 1 z = -14

Passo 8

Com z = -14, encontramos x e y:
x = 1 - z = 1 - (-14) = 54 y = -2z - 1 = -2(-14) - 1 = 12 - 1 = -12

Resposta

O vetor v que satisfaz as condições do exercício é:
v = ( 54, -12, -14 )

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