Determine
tal que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar o vetor
que satisfaz duas condições:
- O produto vetorial de
com deve ser igual a . - O produto escalar de
com deve ser igual a .
Para isso, vamos usar as propriedades de produtos vetoriais e escalares, além de resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial
. O produto vetorial de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso ao nosso caso:
Simplificando:
Passo 3
Agora, igualamos cada componente dos vetores:
Temos um sistema de três equações, mas vamos usar apenas as duas primeiras para encontrar duas variáveis em termos da terceira.
Passo 4
Da segunda equação, podemos expressar
em termos de
:
Passo 5
Substituímos
na terceira equação:
Passo 6
Agora, substituímos
na primeira equação:
Isso confirma que nossas expressões para
e
estão corretas.
Passo 7
Agora, usamos a segunda condição do produto escalar:
Substituímos
e
:
Passo 8
Com
, encontramos
e
:
Resposta
O vetor
que satisfaz as condições do exercício é: