Encontre o(s) ponto(s) B de abscissa 2 de modo que o triângulo de vértices O=(0,0), B e C=(4,1) tenha área 3 .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Precisamos encontrar o(s) ponto(s) que têm abscissa igual a 2, ou seja, . Esses pontos devem formar, junto com os pontos e , um triângulo com área igual a 3. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica para resolver isso.

Passo 2

Para encontrar a área de um triângulo formado por três pontos no plano, podemos usar a fórmula da área baseada no determinante. A fórmula é:
Área = 12 | xO(yB - yC) + xB(yC - yO) + xC(yO - yB) | Á
Onde , e .

Passo 3

Vamos substituir os valores dos pontos na fórmula. Sabemos que Área = 12 | 0(y - 1) + 2(1 - 0) + 4(0 - y) | , e . Substituindo:
Á

Passo 4

Agora, simplificamos a expressão dentro do valor absoluto:
0(y - 1) = 0 2(1 - 0) = 2 4(0 - y) = -4y
Então, a expressão fica:
Área = 12 | 0 + 2 - 4y | = 12 | 2 - 4y | Á

Passo 5

Queremos que a área seja igual a 3. Então, temos:
12 | 2 - 4y | = 3
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
| 2 - 4y | = 6

Passo 6

A equação significa que pode ser igual a 6 ou a -6. Vamos resolver as duas possibilidades:

Passo 7

Resolvendo a primeira equação:
2 - 4y = 6 -4y = 6 - 2 -4y = 4 y = 4-4 y = -1

Passo 8

Resolvendo a segunda equação:
2 - 4y = -6 -4y = -6 - 2 -4y = -8 y = -8-4 y = 2

Resposta

Os pontos são e .

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