Nos itens a seguir, use identidades trigonométricas apropriadas para demostrar que as funções de
dadas são linearmente dependentes.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que as funções
,
e
são linearmente dependentes no conjunto
. Isso significa que existe uma combinação linear dessas funções que resulta na função zero. Para resolver isso, vamos usar identidades trigonométricas e entender o conceito de dependência linear.
Passo 2
Primeiro, lembramos que duas ou mais funções são linearmente dependentes se houverem constantes
, não todas zero, tais que:
Para
, podemos usar a identidade trigonométrica:
Aplicando isso a
:
Passo 3
Agora, reescrevemos a combinação linear:
Simplificando:
Passo 4
Para que essa igualdade valha para todo
, os coeficientes das funções independentes devem ser iguais a zero. Observamos que temos termos constantes,
e
. Como
e
são funções distintas e independentes, a única maneira de satisfazer a igualdade é que seus coeficientes sejam zero individualmente:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
- De
, temos . - Substituindo
na primeira equação: implica . - Já sabemos que
.
Passo 6
A única solução para o sistema é
. Isso significaria que as funções são linearmente independentes, mas isso contradiz a premissa inicial. Portanto, nossa abordagem mostra que, de fato, não existe uma combinação linear não trivial que satisfaça a condição, indicando que as funções são linearmente independentes.
Resposta
As funções
,
e
são linearmente independentes no conjunto
.
Exercícios relacionados
Mostre que se
for um conjunto linearmente independente de vetores, então também o são
.
Determine se
e
geram o espaço vetorial
.
Nos itens a seguir, use identidades trigonométricas apropriadas para demostrar que as funções de
dadas são linearmente dependentes.
e
Os vetores dados a seguir formam um conjunto linearmente dependente em
com quais valores reais de
?