Determine o valor de alpha in R para que o vetor u=alpha e1+2 e2+3 e3 seja combinação linear dos vetores v=e1+4 e2+5 e3 e w=2 e1+e3, em que e1, e2, e3 denota uma base de V^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de combinação linear no espaço vetorial . A gente precisa descobrir qual valor de faz com que o vetor possa ser escrito como uma combinação dos vetores e . Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e montar um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa u = c1 v + c2 w ser uma combinação linear de alpha e1 + 2 e2 + 3 e3 = c1 (e1 + 4 e2 + 5 e3) + c2 (2 e1 + e3) e . Isso quer dizer que existem escalares e tais que:
Substituindo os vetores, fica:

Passo 3

Agora, vamos distribuir os escalares alpha e1 + 2 e2 + 3 e3 = c1 e1 + 4c1 e2 + 5c1 e3 + 2c2 e1 + c2 e3 e nos vetores:

Passo 4

Vamos agrupar os termos semelhantes para cada componente alpha e1 + 2 e2 + 3 e3 = (c1 + 2c2) e1 + 4c1 e2 + (5c1 + c2) e3 , e :

Passo 5

Para que os vetores sejam iguais, os coeficientes de cada base devem ser iguais. Isso gera o seguinte sistema de equações:
alpha = c1 + 2c2 2 = 4c1 3 = 5c1 + c2

Passo 6

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
2 = 4c1 Rightarrow c1 = 24 = 12

Passo 7

Com 3 = 5 ( 12 ) + c2 Rightarrow 3 = 52 + c2 Rightarrow c2 = 3 - 52 = 12 , substituímos na terceira equação para encontrar :

Passo 8

Agora que temos alpha = 12 + 2 ( 12 ) = 12 + 1 = 32 e , substituímos na primeira equação para encontrar :

Resposta

O valor de que satisfaz a condição é .

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