Determine o valor de para que o vetor seja combinação linear dos vetores e , em que denota uma base de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de combinação linear no espaço vetorial . A gente precisa descobrir qual valor de faz com que o vetor possa ser escrito como uma combinação dos vetores e . Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e montar um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser uma combinação linear de e . Isso quer dizer que existem escalares e tais que:
Substituindo os vetores, fica:
Passo 3
Agora, vamos distribuir os escalares e nos vetores:
Passo 4
Vamos agrupar os termos semelhantes para cada componente , e :
Passo 5
Para que os vetores sejam iguais, os coeficientes de cada base devem ser iguais. Isso gera o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
Passo 7
Com , substituímos na terceira equação para encontrar :
Passo 8
Agora que temos e , substituímos na primeira equação para encontrar :