Determine o valor de para que o vetor seja combinação linear dos vetores e , em que denota uma base de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de combinação linear no espaço vetorial . A gente precisa descobrir qual valor de faz com que o vetor possa ser escrito como uma combinação dos vetores e . Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e montar um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser uma combinação linear de e . Isso quer dizer que existem escalares e tais que:
Substituindo os vetores, fica:

Passo 3

Agora, vamos distribuir os escalares e nos vetores:

Passo 4

Vamos agrupar os termos semelhantes para cada componente , e :

Passo 5

Para que os vetores sejam iguais, os coeficientes de cada base devem ser iguais. Isso gera o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:

Passo 7

Com , substituímos na terceira equação para encontrar :

Passo 8

Agora que temos e , substituímos na primeira equação para encontrar :

Resposta

O valor de que satisfaz a condição é .

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(a)