Verifique se as matrizes abaixo são inversíveis e, caso positivo, determine a sua inversa:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a matriz 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 é inversível. Se for, vamos também encontrar a sua inversa. Para isso, vamos usar conceitos de determinante e matriz inversa que são fundamentais em Álgebra Linear.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz . O determinante nos ajuda a saber se a matriz é inversível ou não. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível.
Passo 3
Para calcular o determinante de uma matriz det(A) = 1 cdot 1 cdot 1 + 2 cdot 2 cdot 1 + 1 cdot 0 cdot 1 - 1 cdot 1 cdot 1 - 2 cdot 0 cdot 1 - 1 cdot 2 cdot 1 , a gente pode usar a regra de Sarrus ou a expansão de cofactores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
= 1 + 4 + 0 - 1 - 0 - 2 = 2
Calculando cada termo:
Passo 4
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é inversível. Agora, vamos encontrar a inversa de .
Passo 5
Para encontrar a inversa de A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) , usamos a fórmula:
Primeiro, precisamos encontrar a matriz adjunta . A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores.
Passo 6
Vamos calcular os cofatores de cada elemento de 1 & 2 1 & 1:
Cofator 0 & 2 1 & 1
Cofator 0 & 1 1 & 1
Cofator 2 & 1 1 & 1
Cofator 1 & 1 1 & 1
Cofator 1 & 2 1 & 1
Cofator 2 & 1 1 & 2
Cofator 1 & 1 0 & 2
Cofator 1 & 2 0 & 1
Cofator
Passo 7
Agora, montamos a matriz dos cofatores:
Cof(A) = -1 & 2 & -1 -1 & 0 & 1 3 & -2 & 1
Depois, tiramos a transposta dessa matriz para obter a adjunta: