Verifique se as matrizes abaixo são inversíveis e, caso positivo, determine a sua inversa:
(a) A=[lll1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a matriz 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 é inversível. Se for, vamos também encontrar a sua inversa. Para isso, vamos usar conceitos de determinante e matriz inversa que são fundamentais em Álgebra Linear.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz . O determinante nos ajuda a saber se a matriz é inversível ou não. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível.

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz det(A) = 1 cdot 1 cdot 1 + 2 cdot 2 cdot 1 + 1 cdot 0 cdot 1 - 1 cdot 1 cdot 1 - 2 cdot 0 cdot 1 - 1 cdot 2 cdot 1 , a gente pode usar a regra de Sarrus ou a expansão de cofactores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
= 1 + 4 + 0 - 1 - 0 - 2 = 2
Calculando cada termo:

Passo 4

Como o determinante é diferente de zero, a matriz é inversível. Agora, vamos encontrar a inversa de .

Passo 5

Para encontrar a inversa de A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) , usamos a fórmula:
Primeiro, precisamos encontrar a matriz adjunta . A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores.

Passo 6

Vamos calcular os cofatores de cada elemento de 1 & 2 1 & 1:
  • Cofator 0 & 2 1 & 1
  • Cofator 0 & 1 1 & 1
  • Cofator 2 & 1 1 & 1
  • Cofator 1 & 1 1 & 1
  • Cofator 1 & 2 1 & 1
  • Cofator 2 & 1 1 & 2
  • Cofator 1 & 1 0 & 2
  • Cofator 1 & 2 0 & 1
  • Cofator

Passo 7

Agora, montamos a matriz dos cofatores:
Cof(A) = -1 & 2 & -1 -1 & 0 & 1 3 & -2 & 1
Depois, tiramos a transposta dessa matriz para obter a adjunta:
adj(A) = -1 & -1 & 3 2 & 0 & -2 -1 & 1 & 1

Passo 8

Agora, aplicamos a fórmula da inversa:
A^-1 = 12 cdot -1 & -1 & 3 2 & 0 & -2 -1 & 1 & 1 = -0.5 & -0.5 & 1.5 1 & 0 & -1 -0.5 & 0.5 & 0.5

Resposta

A matriz A^-1 = -0.5 & -0.5 & 1.5 1 & 0 & -1 -0.5 & 0.5 & 0.5 é inversível e a sua inversa é:

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