Encontre todos os possíveis
e
de modo que
seja ortogonal a ambos os vetores
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todos os valores de
,
e
para que o vetor
seja ortogonal aos vetores
e
. Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar de vetores.
Passo 2
Primeiro, lembro que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Ou seja, precisamos que:
Vamos calcular esse produto:
Passo 3
Agora, fazemos o mesmo para o segundo vetor
:
Calculando:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Uma boa maneira é subtrair a segunda equação da primeira para eliminar
:
Passo 5
Com o valor de
, podemos substituir de volta em uma das equações para encontrar uma relação entre
e
. Vamos usar a primeira equação:
Simplificando dividindo tudo por 2:
Passo 6
Então, encontramos que
depende de
e
. Podemos expressar o vetor
em termos de um parâmetro livre, digamos
:
Aqui,
pode ser qualquer número real. Isso significa que todos os vetores que satisfazem a condição de serem ortogonais a
e
são múltiplos do vetor
.
Resposta
Todos os vetores
que satisfazem as condições são da forma
, onde
é um número real qualquer.