Encontre todos os possíveis e de modo que seja ortogonal a ambos os vetores e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todos os valores de , e para que o vetor seja ortogonal aos vetores e . Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar de vetores.

Passo 2

Primeiro, lembro que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Ou seja, precisamos que:
Vamos calcular esse produto:

Passo 3

Agora, fazemos o mesmo para o segundo vetor :
Calculando:

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Uma boa maneira é subtrair a segunda equação da primeira para eliminar :

Passo 5

Com o valor de , podemos substituir de volta em uma das equações para encontrar uma relação entre e . Vamos usar a primeira equação:
Simplificando dividindo tudo por 2:

Passo 6

Então, encontramos que depende de e . Podemos expressar o vetor em termos de um parâmetro livre, digamos :
Aqui, pode ser qualquer número real. Isso significa que todos os vetores que satisfazem a condição de serem ortogonais a e são múltiplos do vetor .

Resposta

Todos os vetores que satisfazem as condições são da forma , onde é um número real qualquer.

Exercícios relacionados

Determine o valor de para que o vetor seja combinação linear dos vetores e , em que denota uma base de .
Passar as seguintes equações de coordenadas esféricas para cartesianas e, em cada caso, faça um esboço do objeto geométrico correspondente: a) ;
Verifique se as matrizes abaixo são inversíveis e, caso positivo, determine a sua inversa:
(a)
Ex. 1. Simplifique as expressões:
(h) ;