Encontre todos os possíveis a, b e c de modo que u=(a, b, c) seja ortogonal a ambos os vetores v=(2,4,1) e w=(2,4,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todos os valores de , e para que o vetor seja ortogonal aos vetores e . Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar de vetores.

Passo 2

Primeiro, lembro que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Ou seja, precisamos que:
u cdot v = 0
Vamos calcular esse produto:
(a, b, c) cdot (2, 4, 1) = 2a + 4b + c = 0

Passo 3

Agora, fazemos o mesmo para o segundo vetor u cdot w = 0 :
(a, b, c) cdot (2, 4, -1) = 2a + 4b - c = 0
Calculando:

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações:
2a + 4b + c = 0 2a + 4b - c = 0
Vamos resolver esse sistema. Uma boa maneira é subtrair a segunda equação da primeira para eliminar (2a + 4b + c) - (2a + 4b - c) = 0 - 0 2c = 0 c = 0 :

Passo 5

Com o valor de 2a + 4b + 0 = 0 2a + 4b = 0 , podemos substituir de volta em uma das equações para encontrar uma relação entre a + 2b = 0 a = -2b e . Vamos usar a primeira equação:
Simplificando dividindo tudo por 2:

Passo 6

Então, encontramos que u = (-2b, , b, , 0) depende de e . Podemos expressar o vetor em termos de um parâmetro livre, digamos :
Aqui, pode ser qualquer número real. Isso significa que todos os vetores que satisfazem a condição de serem ortogonais a e são múltiplos do vetor .

Resposta

Todos os vetores que satisfazem as condições são da forma , onde é um número real qualquer.

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