Encontre todos os possíveis e de modo que seja ortogonal a ambos os vetores e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todos os valores de , e para que o vetor seja ortogonal aos vetores e . Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar de vetores.
Passo 2
Primeiro, lembro que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Ou seja, precisamos que:
Vamos calcular esse produto:
Passo 3
Agora, fazemos o mesmo para o segundo vetor :
Calculando:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Uma boa maneira é subtrair a segunda equação da primeira para eliminar :
Passo 5
Com o valor de , podemos substituir de volta em uma das equações para encontrar uma relação entre e . Vamos usar a primeira equação:
Simplificando dividindo tudo por 2:
Passo 6
Então, encontramos que depende de e . Podemos expressar o vetor em termos de um parâmetro livre, digamos :
Aqui, pode ser qualquer número real. Isso significa que todos os vetores que satisfazem a condição de serem ortogonais a e são múltiplos do vetor .
Resposta
Todos os vetores que satisfazem as condições são da forma , onde é um número real qualquer.