Passar as seguintes equações de coordenadas esféricas para cartesianas e, em cada caso, faça um esboço do objeto geométrico correspondente: a) ;
Passo 1
Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é pegar a equação em coordenadas esféricas, que é , e transformar ela para coordenadas cartesianas. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde a gente aprende a mudar de um sistema de coordenadas para outro. Para resolver isso, a gente vai precisar saber as relações entre coordenadas esféricas e cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são essas coordenadas. Nas coordenadas esféricas, representa a distância do ponto até a origem. Nas coordenadas cartesianas, usamos . A relação entre elas é dada pelas fórmulas:
Passo 3
No nosso caso, a equação é , o que significa que toda a distância do ponto até a origem é constante e igual a 7. Isso sugere que estamos lidando com todos os pontos que estão a uma distância fixa da origem, formando uma esfera.
Passo 4
Para transformar isso em coordenadas cartesianas, vamos usar a relação que conecta com , e . Sabemos que:
Passo 5
Como , substituímos na equação:
Passo 6
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para tirar a raiz:
Passo 7
Então, a equação em coordenadas cartesianas é:
Resposta
A conversão de para coordenadas cartesianas resulta na equação , que representa uma esfera com raio 7 centrada na origem.