Passar as seguintes equações de coordenadas esféricas para cartesianas e, em cada caso, faça um esboço do objeto geométrico correspondente: a)
;
Passo 1
Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é pegar a equação em coordenadas esféricas, que é
, e transformar ela para coordenadas cartesianas. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde a gente aprende a mudar de um sistema de coordenadas para outro. Para resolver isso, a gente vai precisar saber as relações entre coordenadas esféricas e cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são essas coordenadas. Nas coordenadas esféricas,
representa a distância do ponto até a origem. Nas coordenadas cartesianas, usamos
. A relação entre elas é dada pelas fórmulas:
Passo 3
No nosso caso, a equação é
, o que significa que toda a distância do ponto até a origem é constante e igual a 7. Isso sugere que estamos lidando com todos os pontos que estão a uma distância fixa da origem, formando uma esfera.
Passo 4
Para transformar isso em coordenadas cartesianas, vamos usar a relação que conecta
com
,
e
. Sabemos que:
Passo 5
Como
, substituímos na equação:
Passo 6
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para tirar a raiz:
Passo 7
Então, a equação em coordenadas cartesianas é:
Resposta
A conversão de
para coordenadas cartesianas resulta na equação
, que representa uma esfera com raio 7 centrada na origem.