Determine o valor de beta para o qual os pontos A(beta, 3,4), B(beta,-1,8), C(-2,2,-1) e D(- beta, 2,3 ) são coplanares. beta=2 / 5

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria analítica onde precisamos encontrar o valor de beta que faz com que os pontos A(beta, 3,4), B(beta,-1,8), C(-2,2,-1) e D(-beta, 2,3) estejam todos no mesmo plano, ou seja, sejam coplanares. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e determinantes.

Passo 2

Primeiro, entende-se que quatro pontos são coplanares se o volume do paralelepípedo formado por três vetores quaisquer derivados desses pontos for zero. Esse volume pode ser calculado usando o determinante de uma matriz formada por esses vetores.

Passo 3

Vamos escolher um ponto como base, por exemplo, o ponto A(beta, 3,4). Em seguida, construímos os vetores AB, AC e AD:
AB = B - A = (beta - beta, -1 - 3, 8 - 4) = (0, -4, 4)
AC = C - A = (-2 - beta, 2 - 3, -1 - 4) = (-2 - beta, -1, -5)
AD = D - A = (-beta - beta, 2 - 3, 3 - 4) = (-2beta, -1, -1)

Passo 4

Agora, montamos a matriz com esses vetores e calculamos o determinante:
0 & -4 & 4 -2 - beta & -1 & -5 -2beta & -1 & -1 = 0

Passo 5

Calculamos o determinante:
0 cdot -1 & -5 -1 & -1 - (-4) cdot -2 - beta & -5 -2beta & -1 + 4 cdot -2 - beta & -1 -2beta & -1 = 0
Simplificando:
0 - (-4) cdot [(-2 - beta)(-1) - (-5)(-2beta)] + 4 cdot [(-2 - beta)(-1) - (-1)(-2beta)] = 0
4 cdot [(2 + beta) - 10beta] + 4 cdot [(2 + beta) - 2beta] = 0
4 cdot (2 - 9beta) + 4 cdot (2 - beta) = 0
8 - 36beta + 8 - 4beta = 0
16 - 40beta = 0

Passo 6

Resolvendo para beta:
-40beta = -16
beta = 1640 = 25

Resposta

beta = dfrac25

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