Determine o valor de c de forma que v=(6,-3, c) tenha |v|=7. Depois disso, normalize o vetor obtido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor v = (6, -3, c) e precisa descobrir o valor de c para que o comprimento (ou módulo) desse vetor seja igual a 7. Depois disso, vamos transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. Para isso, vamos usar fórmulas de cálculo de módulo de vetor e de normalização.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o módulo de um vetor. Se temos um vetor v = (vx, vy, vz), o módulo |v| é dado por:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
No nosso caso, v = (6, -3, c), então:
|v| = raiz6^2 + (-3)^2 + c^2 = raiz36 + 9 + c^2 = raiz45 + c^2

Passo 3

Sabemos que o módulo desse vetor deve ser igual a 7, então igualamos a expressão acima a 7:
raiz45 + c^2 = 7
Para resolver isso, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
45 + c^2 = 7^2 45 + c^2 = 49

Passo 4

Agora, vamos isolar c^2:
c^2 = 49 - 45 c^2 = 4
Para encontrar c, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
c = raiz4 c = pm 2
Então, c pode ser 2 ou -2.

Passo 5

Com o valor de c encontrado, podemos escrever o vetor completo como v = (6, -3, 2) ou v = (6, -3, -2). Agora, vamos normalizar o vetor. Normalizar significa criar um vetor com a mesma direção, mas com módulo igual a 1.
Para normalizar, dividimos cada componente do vetor pelo seu módulo. Já sabemos que o módulo |v| é 7, então o vetor normalizado u será:
u = ( 67, -37, c7 )
Substituindo c por 2 e -2, temos:
  • Para c = 2:
u = ( 67, -37, 27 )
  • Para c = -2:
u = ( 67, -37, -27 )

Resposta

O valor de c pode ser 2 ou -2. Os vetores normalizados são ( dfrac67, dfrac-37, dfrac27 ) e ( dfrac67, dfrac-37, dfrac-27 ).

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