Determine o valor de c de forma que tenha . Depois disso, normalize o vetor obtido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor e precisa descobrir o valor de para que o comprimento (ou módulo) desse vetor seja igual a . Depois disso, vamos transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a . Para isso, vamos usar fórmulas de cálculo de módulo de vetor e de normalização.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o módulo de um vetor. Se temos um vetor , o módulo é dado por:
No nosso caso, , então:

Passo 3

Sabemos que o módulo desse vetor deve ser igual a , então igualamos a expressão acima a :
Para resolver isso, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 4

Agora, vamos isolar :
Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, pode ser ou .

Passo 5

Com o valor de encontrado, podemos escrever o vetor completo como ou . Agora, vamos normalizar o vetor. Normalizar significa criar um vetor com a mesma direção, mas com módulo igual a .
Para normalizar, dividimos cada componente do vetor pelo seu módulo. Já sabemos que o módulo é , então o vetor normalizado será:
Substituindo por e , temos:
  • Para :
  • Para :

Resposta

O valor de pode ser ou . Os vetores normalizados são e .

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