Quais das funções definidas abaixo são transformações lineares?
(e) F: R^4 R^3 ; F(x, y, z, t)=(x-t, y+t, x+z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se a função , definida por , é uma transformação linear. Vamos entender o que é uma transformação linear e como podemos verificar isso.

Passo 2

Primeiro, uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que respeita duas propriedades principais:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores e .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor .
Além disso, uma transformação linear sempre leva o vetor zero a zero, ou seja, .

Passo 3

Vamos verificar essas propriedades para a função F(0, 0, 0, 0) = (0 - 0, 0 + 0, 0 + 0) = (0, 0, 0) .
1. Verificando :
Substituindo , , , e na função:
Então, , o que satisfaz a primeira condição.

Passo 4

2. Verificando a aditividade u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, t1 + t2) :
Sejam F(u + v) = ((x1 + x2) - (t1 + t2), (y1 + y2) + (t1 + t2), (x1 + x2) + (z1 + z2)) e F(u + v) = (x1 - t1 + x2 - t2, y1 + t1 + y2 + t2, x1 + z1 + x2 + z2) , então:
F(u) + F(v) = (x1 - t1, y1 + t1, x1 + z1) + (x2 - t2, y2 + t2, x2 + z2) = (x1 - t1 + x2 - t2, y1 + t1 + y2 + t2, x1 + z1 + x2 + z2)
Aplicando em :
Simplificando:
Agora, somando e :
Vemos que , então a aditividade está satisfeita.

Passo 5

3. Verificando a homogeneidade cu = (cx, cy, cz, ct) :
Tomemos um escalar F(cu) = (cx - ct, cy + ct, cx + cz) = c(x - t, y + t, x + z) = cF(u) e o vetor . Então:
Aplicando :
Portanto, a homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Sim, a função é uma transformação linear.

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