Quais das funções definidas abaixo são transformações lineares?
(e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se a função , definida por , é uma transformação linear. Vamos entender o que é uma transformação linear e como podemos verificar isso.

Passo 2

Primeiro, uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que respeita duas propriedades principais:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores e .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor .
Além disso, uma transformação linear sempre leva o vetor zero a zero, ou seja, .

Passo 3

Vamos verificar essas propriedades para a função .
1. Verificando :
Substituindo , , , e na função:
Então, , o que satisfaz a primeira condição.

Passo 4

2. Verificando a aditividade :
Sejam e , então:
Aplicando em :
Simplificando:
Agora, somando e :
Vemos que , então a aditividade está satisfeita.

Passo 5

3. Verificando a homogeneidade :
Tomemos um escalar e o vetor . Então:
Aplicando :
Portanto, a homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Sim, a função é uma transformação linear.

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