Quais das funções definidas abaixo são transformações lineares?
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se a função
, definida por
, é uma transformação linear. Vamos entender o que é uma transformação linear e como podemos verificar isso.
Passo 2
Primeiro, uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que respeita duas propriedades principais:
- Aditividade:
para quaisquer vetores e . - Homogeneidade:
para qualquer escalar e vetor .
Além disso, uma transformação linear sempre leva o vetor zero a zero, ou seja,
.
Passo 3
Vamos verificar essas propriedades para a função
.
1. Verificando
:
Substituindo
,
,
, e
na função:
Então,
, o que satisfaz a primeira condição.
Passo 4
2. Verificando a aditividade
:
Sejam
e
, então:
Aplicando
em
:
Simplificando:
Agora, somando
e
:
Vemos que
, então a aditividade está satisfeita.
Passo 5
3. Verificando a homogeneidade
:
Tomemos um escalar
e o vetor
. Então:
Aplicando
:
Portanto, a homogeneidade também está satisfeita.
Resposta
Sim, a função
é uma transformação linear.
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Seja
o operador linear sobre
definido por
. Qual é a matriz de
em relação à base canônica do
?
Responda cuidadosamente cada item:
(h) Toda matriz de uma Transformação Linear é invertível? Justifique.
(h) Toda matriz de uma Transformação Linear é invertível? Justifique.
Determine o valor de c de forma que
tenha
. Depois disso, normalize o vetor obtido.
Resolva por Eliminação de Gauss o seguinte sistema: