Seja
o operador linear sobre
definido por
. Qual é a matriz de
em relação à base canônica do
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um operador linear
definido em
por
. Nosso objetivo é encontrar a matriz que representa esse operador
na base canônica de
. Para isso, vamos precisar entender como operadores lineares se relacionam com matrizes e como construir essa matriz passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer operador linear
pode ser representado por uma matriz
tal que
, onde
é um vetor em
. Na base canônica, os vetores base são
,
e
.
Passo 3
Para encontrar a matriz
, vamos aplicar o operador
a cada um desses vetores base e ver como eles se transformam. Ou seja, vamos calcular
,
e
.
Passo 4
Vamos começar com
:
Então, a primeira coluna da matriz
será
.
Passo 5
Agora, vamos para
:
A segunda coluna da matriz
será
.
Passo 6
Por último, calculamos
:
A terceira coluna da matriz
será
.
Resposta
Assim, a matriz de
na base canônica de
é: