Seja o operador linear sobre definido por . Qual é a matriz de em relação à base canônica do ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um operador linear definido em por . Nosso objetivo é encontrar a matriz que representa esse operador na base canônica de . Para isso, vamos precisar entender como operadores lineares se relacionam com matrizes e como construir essa matriz passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz tal que , onde é um vetor em . Na base canônica, os vetores base são , e .

Passo 3

Para encontrar a matriz , vamos aplicar o operador a cada um desses vetores base e ver como eles se transformam. Ou seja, vamos calcular , e .

Passo 4

Vamos começar com :
Então, a primeira coluna da matriz será .

Passo 5

Agora, vamos para :
A segunda coluna da matriz será .

Passo 6

Por último, calculamos :
A terceira coluna da matriz será .

Resposta

Assim, a matriz de na base canônica de é:

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Responda cuidadosamente cada item:
(h) Toda matriz de uma Transformação Linear é invertível? Justifique.
Se a matriz de um operador linear do em relação à base canônica é e se , determine a matriz de em relação à base canônica do . Escreva explicitamente .
Quais das funções definidas abaixo são transformações lineares?
(e)
Determine o valor de c de forma que tenha . Depois disso, normalize o vetor obtido.