Seja F o operador linear sobre R^3 definido por F(x, y, z)=(3 y+z,-2 x+z,-x+2 y+4 z). Qual é a matriz de F em relação à base canônica do R^3 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um operador linear definido em por . Nosso objetivo é encontrar a matriz que representa esse operador na base canônica de . Para isso, vamos precisar entender como operadores lineares se relacionam com matrizes e como construir essa matriz passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz tal que , onde é um vetor em . Na base canônica, os vetores base são , e .

Passo 3

Para encontrar a matriz , vamos aplicar o operador a cada um desses vetores base e ver como eles se transformam. Ou seja, vamos calcular , e .

Passo 4

Vamos começar com F(1, 0, 0) = (3 cdot 0 + 0, -2 cdot 1 + 0, -1 + 2 cdot 0 + 4 cdot 0) = (0, -2, -1) :
Então, a primeira coluna da matriz será .

Passo 5

Agora, vamos para F(0, 1, 0) = (3 cdot 1 + 0, -2 cdot 0 + 0, -0 + 2 cdot 1 + 4 cdot 0) = (3, 0, 2) :
A segunda coluna da matriz será .

Passo 6

Por último, calculamos F(0, 0, 1) = (3 cdot 0 + 1, -2 cdot 0 + 1, -0 + 2 cdot 0 + 4 cdot 1) = (1, 1, 4) :
A terceira coluna da matriz será .

Resposta

Assim, a matriz de A = 0 & 3 & 1 -2 & 0 & 1 -1 & 2 & 4 na base canônica de é:

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