A função f(x) = { (x^2 + x) / (x + 1), se x ≠ -1; 2, se x = -1 } é contínua em x0 = -1. E em x0 = 0 ? Justifique.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A questão já nos disse que essa função é contínua em e quer saber se ela também é contínua em . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade de uma função em um ponto e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

Vamos aplicar isso para . Primeiro, encontramos . Como , usamos a primeira parte da função:
Então, , o que significa que está definida.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0:
Podemos simplificar substituindo por valores próximos de 0:
Então, o limite também é 0.

Passo 5

Finalmente, comparamos o limite com :
Como o limite é igual ao valor da função em 0, todas as três condições para continuidade são satisfeitas.

Resposta

A função é contínua em porque o limite quando se aproxima de 0 é igual ao valor da função em 0.

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