A função
é contínua em
. E em
? Justifique.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A questão já nos disse que essa função é contínua em
e quer saber se ela também é contínua em
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade de uma função em um ponto e como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se três condições forem satisfeitas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Passo 3
Vamos aplicar isso para
. Primeiro, encontramos
. Como
, usamos a primeira parte da função:
Então,
, o que significa que
está definida.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0:
Podemos simplificar substituindo
por valores próximos de 0:
Então, o limite também é 0.
Passo 5
Finalmente, comparamos o limite com
:
Como o limite é igual ao valor da função em 0, todas as três condições para continuidade são satisfeitas.
Resposta
A função
é contínua em
porque o limite quando
se aproxima de 0 é igual ao valor da função em 0.
Exercícios relacionados
Determine o valor de
, caso exista, para que a função dada seja contínua em
.
em
.
Determine o valor de
, caso exista, para que a função dada seja contínua em
.
em
Em cada dos itens abaixo, determine o maior conjunto onde a função
é contínua.
Em cada dos itens abaixo, determine o maior conjunto onde a função
é contínua.
.