A função
é contínua em
? Justifique.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma função definida por partes:
Queremos saber se essa função é contínua no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade em um ponto, que envolve verificar se os limites pela esquerda e pela direita são iguais e se são iguais ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Vamos calcular o limite pela esquerda quando
se aproxima de 1. Como
, usamos a primeira parte da função:
Então, o limite pela esquerda é 2.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite pela direita quando
se aproxima de 1. Como
, usamos a segunda parte da função:
Então, o limite pela direita é 1.
Passo 4
Em seguida, verificamos o valor da função no ponto
:
Então,
.
Passo 5
Para a função ser contínua no ponto
, os seguintes três valores precisam ser iguais:
- O limite pela esquerda: 2
- O limite pela direita: 1
- O valor da função no ponto: 2
No nosso caso, vemos que os limites pela esquerda e pela direita são diferentes.
Resposta
Não, a função
não é contínua em
, porque os limites laterais (
pela esquerda e
pela direita) são diferentes.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico da função dada e determine os pontos em que a função é contínua.
Mostre que uma função
é contínua em
se, e somente se,
.
Mostre a unicidade do limite, ou seja, mostre que se
e
, então
.
Determine o valor de
, caso exista, para que a função dada seja contínua em
.
em
.