A função é contínua em ? Justifique.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma função definida por partes:
Queremos saber se essa função é contínua no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade em um ponto, que envolve verificar se os limites pela esquerda e pela direita são iguais e se são iguais ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Vamos calcular o limite pela esquerda quando se aproxima de 1. Como , usamos a primeira parte da função:
Então, o limite pela esquerda é 2.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite pela direita quando se aproxima de 1. Como , usamos a segunda parte da função:
Então, o limite pela direita é 1.

Passo 4

Em seguida, verificamos o valor da função no ponto :
Então, .

Passo 5

Para a função ser contínua no ponto , os seguintes três valores precisam ser iguais:
  1. O limite pela esquerda: 2
  2. O limite pela direita: 1
  3. O valor da função no ponto: 2
No nosso caso, vemos que os limites pela esquerda e pela direita são diferentes.

Resposta

Não, a função não é contínua em , porque os limites laterais ( pela esquerda e pela direita) são diferentes.

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico da função dada e determine os pontos em que a função é contínua.
Mostre que uma função é contínua em se, e somente se, .
Mostre a unicidade do limite, ou seja, mostre que se e , então .
Determine o valor de , caso exista, para que a função dada seja contínua em .
em .